Variável Instrumental e MQ2E

IBM0288 - 2026.2

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Aulas passadas: vieses

Viés de seleção: ocorre quando grupos de tratamento e controle não são comparáveis devido a atribuição não aleatória dos participantes em cada grupo, o que causa diferenças sistemáticas entre eles.

Solução: Se tivermos dados experimentais, aleatorização resolve o problema do viés. Com dados observacionais, incluir controles para fazer comparações ceteris paribus.

Viés de variável omitida (OVB): quando uma variável não incluída no modelo gera correlação entre o resíduo e algum regressor do modelo.

Solução: incluir variável omitida ou trabalhar com estrutura da painel para controlar por efeitos fixos de entidade e tempo.
Observação: painel não permite eliminar todo tipo OVB. Quais não elimina?

Outras fontes de viés

Viés de causalidade simultânea: ocorre quando além da causalidade ir dos regressores para a variável dependente (X causa Y), há também causalidade reversa da variável dependente para um ou mais regressores (Y causa X).

Exemplo notas e tamanho de turmas: Se políticas públicas priorizam contratar mais professores em escolas com notas baixas (subsídio), surge causalidade simultânea: o tamanho da turma afeta as notas e as notas afetam afetam o tamanho das turmas!

Viés de erros nas variáveis: ocorre quando a variável independente X é reportada imprecisamente.

Exemplo: lançamentos errados em bases administrativas; erros de respostas em pesquisas amostrais; questões ambíguas; respostas imprecisas intencionais.

Variável Instrumental (VI): por quê?

Vieses

Ao se trabalhar com dados observacionais em regressões MQO, a presença de viés de variável omitida, viés de causalidade simultânea ou viés de erros de medida será um problema de validade interna que inviabiliza a obtenção de estimativas causais. Todos três problemas resultam em $E(u \mid X) \neq 0$!

A regressão com variáveis instrumentais pode eliminar o viés quando $E(u \mid X) \neq 0$ (independentemente do tipo)!

Um Regressor e um Instrumento

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i\]

O objetivo é estimar o efeito causal $\beta_1$. Porém, $X$ é correlacionada com o termo de erro, e não podemos resolver o problema simplesmente incluindo variáveis de controle.
A regressão com variáveis instrumentais (VI) divide $X$ em duas partes: uma que pode ser correlacionada com $u$, e outra que não é. Ao isolar a parte não correlacionada com $u$, é possível estimar $\beta_1$.
Isso é feito usando uma variável instrumental, $Z_i$, que é correlacionada com $X_i$ mas não correlacionada com $u_i$.

O Problema de Philip Wright

Philip Wright se preocupava com um tema central de sua época: como definir uma tarifa de importação . Para entender o efeito econômico de uma tarifa, era crucial obter estimativas das curvas de demanda e de oferta dos bens.
Considere o problema de estimar a elasticidade da demanda por manteiga a partir da equação de demanda: \[\ln(Q_i^{\text{butter}}) = \beta_0 + \beta_1 \ln(P_i^{\text{butter}}) + u_i\] onde $Q_i^{\text{butter}}$ é a $i$-ésima observação do consumo de manteiga, $P_i^{\text{butter}}$ é o seu preço, e $u_i$ agrega outros fatores que afetam a demanda (renda, gostos, etc.).
O coeficiente $\beta_1$ mensura a elasticidade de $Q$ em relação a $P$.
Devido às interações entre oferta e demanda, o regressor $\ln(P_i^{\text{butter}})$ tende a ser correlacionado com o erro $u_i$ (endogeneidade).

Identificação: oferta e demanda

No ano $1$, as curvas são $D_1$ (demanda) e $S_1$ (oferta). O preço e a quantidade de equilíbrio do período são dados por sua interseção.
No ano $2$, a demanda sobe $D_1 \to D_2$ e a oferta cai $S_1 \to S_2$.O novo equilíbrio é determinado pela nova interseção.
No ano $3$, a demanda sobe novamente $D_3$ e a oferta sobe $S_3$. Um novo preço e quantidade de equilíbrio são determinados.
Como os pontos são gerados por mudanças simultâneas em demanda e oferta, não é possível identificar isoladamente nenhuma das duas curvas a partir deles.

Identificação: oferta e demanda

Considere o gráfico de dispersão de $(P,Q)$ de equilíbrio: ajustar uma reta não estima a curva de demanda nem a de oferta!

Para identificar a demanda, precisaríamos fixar a oferta; e vice-versa, para identificar a oferta, precisaríamos fixar a demanda.

O Problema de Philip Wright: (VI)

Wright mostrou que precisamos de uma terceira variável — a variável instrumental (VI) — que desloque a oferta sem deslocar a demanda.
A VI deve ser correlacionada com o preço (relevância).
- A VI desloca a curva de oferta $\Rightarrow$ altera o preço de equilíbrio.
A VI deve ser não correlacionada com o erro da demanda (exogeneidade).
- A VI não desloca a demanda (não afeta diretamente a utilidade/gosto).
Wright considerou o clima (chuvas) como instrumento:
- Chuvas abaixo da média em região leiteira prejudicam a pastagem e reduzem a produção de manteiga a um dado preço $\Rightarrow$ deslocam a oferta para a esquerda e elevam o preço de equilíbrio.
Relevância do instrumento: a chuva na região leiteira afeta diretamente a oferta de manteiga e, portanto, o preço.
Exogeneidade do instrumento: a chuva na região leiteira não afeta diretamente a demanda por manteiga.

Terminologia

Variável endógena: variável que é correlacionada com u
Variável exógena: variável que não é correlacionada com u
Variável Instrumental: X é endógena e existe um instrumento Z que é exógeno.

Nota terminológica

“Endógena” significa literalmente “determinada dentro do sistema.” Se X é determinada conjuntamente com Y, então a regressão de Y em X está sujeita ao viés de causalidade simultânea. Mas essa definição é muito restrita, pois a regressão VI também pode tratar o viés de variável omitida e de erros nas variáveis. Por isso, utilizamos a definição mais ampla acima.

Entendendo as VIs

X e Y são correlacionadas.
Existe uma variável de Z que satisfaz as condições do viés de variável omitida:
1. Causa $Y$ (está presente no termo de erro $u$);
2. É correlacionada com $X$.
Relação causal entre $X$ e $Y$:
1. $X \rightarrow Y$ (causal, via “porta da frente”);
2. $X \leftarrow Z \rightarrow Y$ (não causal, via “porta dos fundos”).

Entendendo as VIs

Considere a variável I, que causa X, mas não causa diretamente Y.
A variável I não possui caminhos de “porta dos fundos” entre ela e $Y$.
A única forma de chegar a $Y$ a partir de $I$ é por meio de $X$: $I \rightarrow X \rightarrow Y$
A variável I é um bom instrumento para $X$ se satisfizer duas condições:
1. Condição de relevância: $I$ explica estatisticamente e de forma significativa $X$;
2. Condição de exclusão: $I$ é não correlacionada com $u$, portanto não afeta diretamente $Y$.

Regressão com VI

Regressão VI: método para obter um estimador consistente dos coeficientes causais desconhecidos quando o regressor $X$ é correlacionado com o erro $u$.
Intuição da IV: separar a variação de $X$ em duas partes:
1. uma parte correlacionada com $u$;
2. outra parte não correlacionada com $u$. Se conseguirmos isolar a parte não correlacionada, podemos eliminar a componente de $X$ que gera viés no estimador MQO. Essa informação é obtida por meio de variáveis instrumentais.
Seja $\beta_1$ o efeito causal de $X$ sobre $Y$: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ onde $u_i$ representa fatores omitidos que também determinam $Y_i$.
Se $X_i$ e $u_i$ forem correlacionados, o estimador MQO será inconsistente.
A estimação por variáveis instrumentais usa uma variável $Z$ para isolar a parte de $X$ que é não correlacionada com $u$.

Validade do Instrumento

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i\]

Para que uma variável instrumental Z seja válida, ela deve satisfazer duas condições:

Relevância do instrumento: $\text{corr}(Z_i, X_i) \neq 0$
Exogeneidade do instrumento: $\text{corr}(Z_i, u_i) = 0$

Relevância: a variação do instrumento está relacionada à variação do regressor explicativo.

Exogeneidade: a parte da variação explicada pelo instrumento que é exógena, ou seja, não correlacionada com fatores não observados.

MQ2E: primeiro estágio

Explicação #1: Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E)

Como o nome sugere, o MQ2E tem dois estágios, ou seja, duas regressões:

Isole a parte de X não correlacionada com u, regredindo X em Z por MQO:

\[X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + v_i\]

Como $Z_i$ não é correlacionada com $u_i$, o termo $\pi_0 + \pi_1 Z_i$ também não é correlacionado com $u_i$. Não conhecemos $\pi_0$ ou $\pi_1$, mas podemos estimá-los por MQO.

Obtenha os valores ajustados do primeiro estágio:

\[\hat{X}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i\]

MQ2E: segundo estágio

No segundo estágio, regrida $Y_i$ em $\hat{X}_i$ por MQO:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + u_i\]

Como $\hat{X}_i$ é não correlacionada com $u_i$ (por ser função apenas de $Z_i$), o estimador de MQO de $\beta_1$ na regressão (2) é consistente.

Portanto, em amostras grandes, $\beta_1$ pode ser estimado por MQO usando a regressão (2).

MQ2E: Resumo

Suponha que $Z_i$ satisfaça as duas condições para um instrumento válido:

Relevância: $\text{corr}(Z_i, X_i) \neq 0$
Exogeneidade: $\text{corr}(Z_i, u_i) = 0$

Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

Estágio 1: Regrida $X_i$ em $Z_i$ por MQO → obtenha $\hat{X}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i$

Estágio 2: Regrida $Y_i$ em $\hat{X}_i$ por MQO → obtenha $\hat{\beta}_1^{MQ2E}$

Os coeficientes do segundo estágio são os estimadores de MQ2E, mas os erros-padrão estão errados (usar comando único no R).

MQ2E: derivação algébrica

Explicação #2: Derivação algébrica direta

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$

Assim,

\[ \begin{aligned} \text{cov}(Y_i, Z_i) &= \text{cov}(\beta_0 + \beta_1 X_i + u_i,\, Z_i) \\ &= \text{cov}(\beta_0, Z_i) + \text{cov}(\beta_1 X_i, Z_i) + \text{cov}(u_i, Z_i) \\ &= 0 + \beta_1 \text{cov}(X_i, Z_i) + 0 \\ &= \beta_1 \text{cov}(X_i, Z_i) \end{aligned} \]

onde $\text{cov}(u_i, Z_i) = 0$ pela exogeneidade do instrumento! Logo:

\[ \beta_1 = \frac{\text{cov}(Y_i, Z_i)}{\text{cov}(X_i, Z_i)} \]

MQ2E: covariâncias amostrais

O estimador VI substitui essas covariâncias populacionais por covariâncias amostrais:

\[\hat{\beta}_1^{MQ2E} = \frac{s_{YZ}}{s_{XZ}}\]

onde $s_{YZ} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y})$ e $s_{XZ} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Z_i - \bar{Z})(X_i - \bar{X})$ são as covariâncias amostrais.

Este é o estimador de MQ2E apenas com uma derivação diferente!

Derivação por forma reduzida

Existe também uma terceira forma de derivar que consiste em resolver a forma reduzida que relaciona Y com Z e X com Z: $X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + v_i$ e $Y_i = \gamma_0 + \gamma_1 Z_i + w_i$, onde $w_i$ é um termo de erro. Como Z é exógena, Z é não correlacionada com $v_i$ e $w_i$. Não será demonstrado por questão de tempo.

Distribuição Amostral e Inferência

Para um único regressor $X$ e um único instrumento $Z$, o estimador MQ2E possui uma forma simples.
O estimador MQ2E de $\beta_1$ é o quociente entre a covariância amostral entre $Z$ e $Y$ e a covariância amostral entre $Z$ e $X$: $\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}} = \dfrac{s_{ZY}}{s_{ZX}}$
Em amostras grandes, $\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}}$ é consistente e assintoticamente normal: $\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}} \xrightarrow{p} \beta_1$ $\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}} \sim \mathcal{N}(\beta_1, \sigma_{\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}}}^2)$ $\sigma_{\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}}}^2 = \dfrac{1}{n} \dfrac{\operatorname{Var}[(Z_i - \mu_Z)u_i]}{[\operatorname{Cov}(Z_i, X_i)]^2}$
Como $\hat{\beta}_1^{\text{MQ2E}}$ é normalmente distribuído em grandes amostras, testes de hipótese sobre $\beta_1$ podem ser realizados utilizando a estatística $t$.

A Demanda por Cigarros

Usamos o método MQ2E (Two-Stage Least Squares) para estimar a elasticidade-preço da demanda por cigarros, utilizando dados anuais dos 48 estados contíguos dos EUA, de 1985 a 1995.
Variável dependente (Regressanda): $Q^{\text{cigarettes}}$ Número de maços de cigarros vendidos per capita em cada estado.
Regressor: $P^{\text{cigarettes}}$ Preço médio real por maço de cigarros (incluindo todos os impostos).
Instrumento: $\text{SalesTax}$ Parcela do imposto sobre cigarros correspondente ao imposto sobre vendas geral, em dólares reais por maço.
Relevância do instrumento: um imposto sobre vendas mais alto aumenta o preço final pago pelo consumidor.
Exogeneidade do instrumento: o imposto sobre vendas afeta a demanda por cigarros apenas indiretamente, via preço, pois varia entre estados por razões políticas, não por fatores ligados à demanda.

A Demanda por Cigarros – MQ2E

Primeira etapa: estimação do preço em função do imposto sobre vendas\[\widehat{\ln(P^{\text{cigarettes}})} = 4{,}62 \,(0{,}03) + 0{,}031 \,(0{,}005)\,\text{SalesTax}\]

$\bar{R}^2 = 0{,}47$
Impostos mais altos estão associados a preços mais altos.
A variação do imposto explica 47% da variância dos preços entre estados.

Segunda etapa: estimação da demanda de cigarros utilizando o preço previsto \[\widehat{\ln(Q^{\text{cigarettes}})} = 9{,}72 \,(1{,}53) - 1{,}08 \,(0{,}32)\, \widehat{\ln(P^{\text{cigarettes}})}\]

Um aumento de 1% no preço reduz o consumo em 1,08%.
Isso sugere que a demanda é elástica, embora possam existir variáveis omitidas (como renda) que também influenciam o consumo.

Notas e Tamanho da Turma

As regressões de nota/tamanho de turma da Califórnia ainda podem ter viés de variável omitida (ex.: envolvimento dos pais).
Em princípio, esse viés pode ser eliminado por regressão IV (MQ2E).
A regressão IV requer um instrumento válido, isto é, um instrumento que seja:
- relevante: $\text{corr}(Z_i, STR_i) \neq 0$
- exógeno: $\text{corr}(Z_i, u_i) = 0$

Notas e Tamanho da Turma: VI

Instrumento hipotético:alguns distritos, atingidos aleatoriamente por um terremoto, “dobram” as salas de aula

$Z_i = Terremoto_i = 1$ se atingido pelo terremoto, $= 0$ caso contrário
As duas condições para um instrumento válido são atendidas?

O terremoto torna a situação como se os distritos estivessem num experimento de atribuição aleatória. Assim, a variação em STR decorrente do terremoto é exógena.
O primeiro estágio do MQ2E regride STR em Terremoto, isolando a parte de tamanhos das turmas que é exógena (a parte “como se” fosse aleatoriamente atribuída).

O Modelo Geral de VI

Até agora consideramos a regressão VI com um único regressor endógeno (X) e um único instrumento (Z).
Precisamos estender isso para:
- múltiplos regressores endógenos ($X_1, \ldots, X_k$)
- múltiplas variáveis exógenas incluídas ($W_1, \ldots, W_r$) ou variáveis de controle
- múltiplos instrumentos ($Z_1, \ldots, Z_m$): com mais instrumentos (relevantes) pode-se produzir uma variância menor no MQO2E. Por quê?
Nova terminologia: identificação e sobreidentificação

Identificação

Em geral, diz-se que um parâmetro é identificado se diferentes valores do parâmetro produzem diferentes distribuições dos dados.
Na regressão VI, se os coeficientes são identificados depende da relação entre o número de instrumentos (m) e o número de regressores endógenos (k).
Intuitivamente, se há menos instrumentos do que regressores endógenos, não podemos estimar $\beta_1, \ldots, \beta_k$.
- Por exemplo, suponha $k = 1$ mas $m = 0$ (sem instrumentos)!

Condições para identificação

Os coeficientes $\beta_1, \ldots, \beta_k$ são:

Exatamente identificados se $m = k$.
- Há instrumentos suficientes para estimar $\beta_1, \ldots, \beta_k$.
Sobreidentificados se $m > k$.
- Há mais instrumentos do que o necessário. Nesse caso, é possível “testar” a validade dos instrumentos (testes de sobreidentificação).
Subidentificados se $m < k$.
- Há instrumentos insuficientes para estimar $\beta_1, \ldots, \beta_k$. É preciso obter mais instrumentos!

Resumo da Terminologia

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \beta_{k+1} W_{1i} + \cdots + \beta_{k+r} W_{ri} + u_i\]

$Y_i$ é a variável dependente
$X_{1i}, \ldots, X_{ki}$ são os regressores endógenos (potencialmente correlacionados com $u_i$)
$W_{1i}, \ldots, W_{ri}$ são as variáveis exógenas incluídas (não correlacionadas com $u_i$) ou variáveis de controle
$\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_{k+r}$ são os coeficientes de regressão desconhecidos
$Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}$ são os $m$ instrumentos (variáveis exógenas excluídas)
Os coeficientes são sobreidentificados se $m > k$; exatamente identificados se $m = k$; subidentificados se $m < k$.

MQ2E com um regressor endógeno

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 W_{1i} + \cdots + \beta_{1+r} W_{ri} + u_i\]

Com $m$ instrumentos: $Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}$

Primeiro estágio: Regrida $X_1$ em todos os regressores exógenos: regrida $X_1$ em $W_1, \ldots, W_r, Z_1, \ldots, Z_m$, e um intercepto, por MQO → obtenha $\hat{X}_{1i}$

Segundo estágio: Regrida $Y_i$ em $\hat{X}_{1i}, W_{1i}, \ldots, W_{ri}$, e um intercepto, por MQO.

Os coeficientes desse segundo estágio são os estimadores de MQ2E, mas os desvios-padrão precisam ser corrigidos. Para obter os desvios corretos, faça isso em um único passo R.

Exemplo: demanda por cigarros

Suponha que queremos estimar a elasticidade da demanda de cigarros e quea renda seja exógena (plausível — por quê?):

\[\ln Q_i = \beta_0 + \beta_1 \ln P_i + \beta_2 \ln Inc_i + u_i\]

Temos dois instrumentos:

$Z_{1i} = \text{imposto geral de vendas}_i$
$Z_{2i} = \text{imposto específico sobre cigarros}_i$

Variável exógena incluída: $\ln(Inc_i)$ ($W$)

$\beta_1$ é sobre-, sub- ou exatamente identificado?

Hipóteses para inferência causal

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \beta_{k+1} W_{1i} + \cdots + \beta_{k+r} W_{ri} + u_i\]

$E(u_i \mid W_{1i}, \ldots, W_{ri}) = 0$ — “os regressores exógenos são exógenos”
$(Y_i, X_{1i}, \ldots, X_{ki}, W_{1i}, \ldots, W_{ri}, Z_{1i}, \ldots, Z_{mi})$ são i.i.d.
Os X’s, W’s, Z’s e Y têm momentos de 4ª ordem não nulos e finitos.
Os instrumentos $(Z_{1i}, \ldots, Z_{mi})$ são válidos.

Sob as hipóteses 1–4, o MQ2E e sua estatística t são normalmente distribuídos em amostras grandes.

O requisito crítico é que os instrumentos sejam válidos.

Qual o papel das variáveis W?

Em muitos casos, o propósito de incluir as $W's$ é controlar por fatores omitidos para que $Z$ não seja correlacionada com $u$.
Nesse caso, as $W's$ não precisam ser exógenas: elas precisam ser variáveis de controle eficazes!
- Foco agora é em produzir um instrumento exógeno e não aferir causalidade dos $Ws$
Tecnicamente, a condição para as $W's$ serem variáveis de controle eficazes é que a média condicional de $u_i$ não dependa de $Z_i$, dado $W_i$:

\[E(u_i \mid W_i,\, Z_i) = E(u_i \mid W_i)\]

Papel das variáveis de controle em VI

A ideia central para inclusão de controles em regressões com variáveis instrumentais é que, em muitas aplicações, controles são essenciais para garantir que os instrumentos sejam plausivelmente exógenos, ou sej, não correlacionados com o resíduo da regressão.

Exemplo: efeito de estudar sobre notas

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i\]

Y = GPA do primeiro semestre
X = horas médias de estudo por dia
Z = 1 se o colega de quarto trouxe videogame, = 0 caso contrário
Colegas de quarto foram designados aleatoriamente

Vocês conseguem pensar em um motivo pelo qual Z pode ser correlacionada com u mesmo sendo designada aleatoriamente?

O que mais entra no termo de erro? quais são os outros determinantes das notas, além do tempo de estudo?

Exemplo: efeito de estudar sobre notas

Por que Z poderia ser correlacionada com u? Uma possibilidade: o sexo do estudante:

Colegas de quarto são designados aleatoriamente: exceto sempre homens com homens e mulheres com mulheres.
Mulheres tiram notas melhores do que homens, mantendo constantes as horas de estudo.
Homens têm mais probabilidade de trazer um videogame do que mulheres.

Então $\text{corr}(Z_i, u_i) < 0$:

homens têm mais probabilidade de ter um colega de quarto [homem] que traz videogame
homens também tendem a ter notas mais baixas, mantendo constante a quantidade de estudo.

Como $\text{corr}(Z_i, u_i) < 0$, o instrumento não seria válido. A solução é controlar pelo sexo para que $\text{corr}(Z_i, u_i) = 0$!

Exemplo: efeito de estudar sobre notas

Essa lógica leva a incluir W = sexo do estudante como variável de controle na regressão VI:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 W_i + u_i\]

A condição de independência condicional da média para um instrumento exógeno é: $E(u_i \mid Z_i, W_i) = E(u_i \mid W_i)$.

Em palavras: entre os homens (condicional em W = masculino), os colegas de quarto são designados aleatoriamente, portanto se o seu colega traz um videogame é aleatório. O mesmo vale para as mulheres.

O instrumento não é exógeno se W não está incluída na regressão! Mas quando W é incluída, a condição de independência condicional é atendida e o instrumento é válido.

Verificando a validade dos instrumentos

Lembre-se dos dois requisitos para instrumentos válidos:

Relevância (caso especial de um X)
- Pelo menos um instrumento deve entrar na regressão do primeiro estágio.
Exogeneidade
- Todos os instrumentos devem ser não correlacionados com o termo de erro: $\text{corr}(Z_{1i}, u_i) = 0, \ldots, \text{corr}(Z_{mi}, u_i) = 0$
- O que acontece se um desses requisitos não é satisfeito? Como verificar? O que fazer?
- Se você tem múltiplos instrumentos, quais deve usar?

Verificando a Hipótese #1

Focamos em um único regressor endógeno incluído:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 W_{1i} + \cdots + \beta_{1+r} W_{ri} + u_i\]

Regressão do primeiro estágio:

\[X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_{1i} + \cdots + \pi_m Z_{mi} + \pi_{m+1} W_{1i} + \cdots + \pi_{m+k} W_{ki} + v_i\]

Os instrumentos são relevantes se pelo menos um dos $\pi_1, \ldots, \pi_m$ é não nulo.
Os instrumentos são fracos se todos os $\pi_1, \ldots, \pi_m$ são zero ou próximos de zero.
Instrumentos fracos explicam muito pouca variação em X, além daquela explicada pelas W’s.

Quais são as consequências de instrumentos fracos?

Se os instrumentos são fracos, a distribuição amostral do MQ2E e sua estatística t não são normais, mesmo com $n$ grande.

Considere o caso mais simples de um X, um Z e sem variáveis de controle:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i, \qquad X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + v_i\]

Se $\text{cov}(X, Z)$ é zero ou pequena, então $s_{XZ}$ será pequena. Com instrumentos fracos, o denominador está próximo de zero:

\[\hat{\beta}_1^{MQ2E} = \frac{s_{YZ}}{s_{XZ}} \Rightarrow \text{denominador} \approx 0 \Rightarrow \text{distribuição altamente não normal}\]

Simulação distribuição amostral

Linha sólida = instrumentos irrelevantes
Linha tracejada clara = instrumentos fortes

Por que a aproximação para normal falha?

Suponha que em uma amostra você calcule $s_{XZ} = 0{,}00001\ldots$

\[\hat{\beta}_1^{MQ2E} = \frac{s_{YZ}}{s_{XZ}} = \frac{s_{YZ}}{0{,}00001}\]

Pequenas variações amostrais em $s_{YZ}$ produzem enormes variações em $\hat{\beta}_1^{MQ2E}$!

Se os instrumentos são fracos, os métodos usuais de inferência são não confiáveis

Medindo a força dos instrumentos

Regressão do primeiro estágio (um X): Regrida X em $Z_1, \ldots, Z_m, W_1, \ldots, W_k$.
Instrumentos totalmente irrelevantes ↔︎ todos os coeficientes de $Z_1, \ldots, Z_m$ são zero.
A estatística F do primeiro estágio testa a hipótese de que $Z_1, \ldots, Z_m$ não entram na regressão do primeiro estágio.
Instrumentos fracos implicam uma estatística F do primeiro estágio pequena.

Verificando instrumentos fracos com um X

Calcule a estatística F do primeiro estágio.
Regra prática: Se a estatística F do primeiro estágio for menor que 10, então o conjunto de instrumentos é fraco.
Se for o caso, o estimador de MQ2E será viesado, e as inferências estatísticas (erros-padrão, testes de hipótese, intervalos de confiança) podem ser enganosas.

Por que 10%?

Por que comparar a estatística F do primeiro estágio com 10?

Simplesmente rejeitar a hipótese nula de que os coeficientes dos Z’s são zero não é suficiente: é necessário um conteúdo preditivo substancial para que a aproximação normal seja boa.
Comparar a F do primeiro estágio com 10 testa se o viés do MQ2E, relativo ao MQO, é menor que 10%. Se F < 10, o viés relativo supera 10%, ou seja, o MQ2E pode ter viés substancial (ver Apêndice 12.5 de SW).

O que fazer se há instrumentos fracos

Obtenha melhores instrumentos (muitas vezes mais fácil falar do que fazer!).
Se você tem muitos instrumentos, alguns provavelmente são mais fracos que outros — é uma boa ideia descartar os mais fracos:
- descartar um instrumento irrelevante aumenta a F do primeiro estágio).
Se você tem poucos instrumentos, e todos são fracos, então é necessário fazer uma análise VI diferente do MQ2E:
- Separe o problema de estimação de $\beta_1$ e a construção de intervalos de confiança.
- Isso parece estranho, mas se o MQ2E não é normalmente distribuído, faz sentido (certo?).

Verificando a Hipótese #2

Exogeneidade dos instrumentos: todos os instrumentos são não correlacionados com o termo de erro: $\text{corr}(Z_{1i}, u_i) = 0, \ldots, \text{corr}(Z_{mi}, u_i) = 0$
Se há mais instrumentos do que regressores endógenos, é possível testar — parcialmente — a exogeneidade dos instrumentos.

Testando as Restrições de Sobreidentificação

Considere o caso mais simples:

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i\]

Suponha que existam dois instrumentos válidos: $Z_{1i}$, $Z_{2i}$. Então seria possível calcular duas estimativas de MQ2E separadas.

Intuitivamente, se essas 2 estimativas de MQ2E forem muito diferentes entre si, algo deve estar errado: um ou ambos os instrumentos devem ser inválidos.

O Teste J de restrições de sobreidentificação faz essa comparação de maneira estatisticamente precisa.

Isso só pode ser feito se $\#Z > \#X$ (sobreidentificado).

O Teste J

Suponha $= m > k$ (sobreidentificado):

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \beta_{k+1} W_{1i} + \cdots + \beta_{k+r} W_{ri} + u_i\] Passos:

Calcule os resíduos de MQ2E: $\hat{u}_i = Y_i - \hat{\beta}_0^{MQ2E} - \hat{\beta}_1^{MQ2E} X_{1i} - \cdots$

Use $X_i$ ao invés de $\hat{X}_i$ para obter $_i

Regrida $\hat{u}_i$ em $Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}, W_{1i}, \ldots, W_{ri}$
Compute a estatística F testando a hipótese de que os coeficientes de $Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}$ são todos zero
A estatística J é $J = mF$

O Teste J

$J = mF$, onde F = a estatística F testando os coeficientes de $Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}$ numa regressão dos resíduos de MQ2E em $Z_{1i}, \ldots, Z_{mi}, W_{1i}, \ldots, W_{ri}$.

Distribuição da estatística J:

Sob a hipótese nula de que todos os instrumentos são exógenos, J tem distribuição qui-quadrado com $m-k$ graus de liberdade.
Se $m = k$, $J = 0$ (isso faz sentido?)
Se alguns instrumentos são exógenos e outros são endógenos, a estatística J será grande e a hipótese nula de que todos os instrumentos são exógenos será rejeitada.

Verificando a validade dos Zs: Resumo

Este resumo considera o caso de um único X. Os dois requisitos para instrumentos válidos são:

1. Relevância

Pelo menos um instrumento deve entrar na regressão do primeiro estágio.
Se os instrumentos são fracos, o estimador de MQ2E é viesado e a estatística t tem distribuição não normal.
Para verificar instrumentos fracos com um único regressor endógeno incluído, verifique a F do primeiro estágio:
- Se F > 10, os instrumentos são fortes — use MQ2E.
- Se F < 10, instrumentos fracos — tome alguma providência.

Verificando a validade dos Zs: Resumo

2. Exogeneidade

Todos os instrumentos devem ser não correlacionados com o termo de erro: $\text{corr}(Z_{1i}, u_i) = 0, \ldots, \text{corr}(Z_{mi}, u_i) = 0$
Podemos testar parcialmente a exogeneidade: se $m > 1$, podemos testar a hipótese nula de que todos os instrumentos são exógenos, contra a alternativa de que até $m-1$ são endógenos (correlacionados com u).
O teste é o Teste J, construído usando os resíduos de MQ2E.
Se o Teste J rejeitar, então pelo menos alguns de seus instrumentos são endógenos — portanto, você deve tomar uma decisão difícil e descartar alguns (ou todos) os seus instrumentos.