Variável Instrumental: LATE

IBM0288 - 2026.2

Prof. Raphael Gouvea

Aula passada: MQ2E

Suponha que \(Z_i\) satisfaça as duas condições para um instrumento válido:

Relevância: \(\text{corr}(Z_i, X_i) \neq 0\)
Exogeneidade: \(\text{corr}(Z_i, u_i) = 0\)

Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

Estágio 1: Regrida \(X_i\) em \(Z_i\) por MQO → obtenha \(\hat{X}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i\)

Estágio 2: Regrida \(Y_i\) em \(\hat{X}_i\) por MQO → obtenha \(\hat{\beta}_1^{MQ2E}\)

Os coeficientes do segundo estágio são os estimadores de MQ2E, mas os erros-padrão estão errados (usar comando único no R).

Aula passada: inferência causal

\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \beta_{k+1} W_{1i} + \cdots + \beta_{k+r} W_{ri} + u_i\]

\(E(u_i \mid W_{1i}, \ldots, W_{ri}) = 0\) — “os regressores exógenos são exógenos”
\((Y_i, X_{1i}, \ldots, X_{ki}, W_{1i}, \ldots, W_{ri}, Z_{1i}, \ldots, Z_{mi})\) são i.i.d.
Os X’s, W’s, Z’s e Y têm momentos de 4ª ordem não nulos e finitos.
Os instrumentos \((Z_{1i}, \ldots, Z_{mi})\) são válidos.

Sob as hipóteses 1–4, o MQ2E e sua estatística t são normalmente distribuídos em amostras grandes.

Modelos não fazem mágica

Angrist (1990): primeiro uso de aleatorização como instrumento

  - Efeito do serviço militar no Vietnã sobre a renda
  - Serviço voluntário (em tempos normais) implica seleção e efeitos heterogêneos 
  - Instrumento: número sorteado na loteria do alistamento (randomização física)

Na época, o uso de IV era descuidado: alguns artigos nem diziam qual era o instrumento
Para Angrist, o instrumento é um mecanismo real de atribuição ao tratamento, não uma formalidade estatística
O MQ2E não cria variação exógena! Ele só aproveita a aleatoriedade que já existe no mundo (experimento natural).
O trabalho do pesquisador é encontrar essa aleatoriedade e usá-la para responder perguntas relevantes para políticas públicas

IV não identifica ATE

Heckman (1990): “identificação no infinito”
- IV só identifica o ATE se \(Z\) levar quase toda a população para dentro ou para fora do tratamento ou se assumir efeitos homogêneos.
- Na prática há não cumprimento: nem todo sorteado serviu
Imbens & Angrist (1994): então, o que o IV estima?
- Efeito individual: \(\delta_i = Y_i^1 - Y_i^0\)
- Status de tratamento potencial: \(D_i^1\) (se \(Z_i=1\)) e \(D_i^0\) (se \(Z_i=0\))
- \(D_i = D_i^0 + (D_i^1 - D_i^0)Z_i\)

Quatro Grupos

Compliers (\(D^1=1, D^0=0\)): serviram por causa do sorteio
Always-takers (\(D^1=D^0=1\)): patriotas, servem de qualquer jeito
Never-takers (\(D^1=D^0=0\)): isentos por motivo de saúde
Defiers (\(D^1=0, D^0=1\)): descartados pela monotonicidade

Teorema LATE

\[ \delta_{IV} = \frac{E[Y_i(D_i^1,1) - Y_i(D_i^0,0)]}{E[D_i^1 - D_i^0]} = E\big[Y_i^1 - Y_i^0 \mid D_i^1 - D_i^0 = 1\big] \]

IV estima o efeito médio para os compliers: quem muda de status por causa de \(Z\)
Efeito Local: sem hipóteses extras, nada diz sobre always-takers ou never-takers
Com efeitos homogêneos, LATE = ATE; com efeitos heterogêneos, em geral LATE \(\neq\) ATE
Se o LATE é o parâmetro de política relevante depende da pergunta que se quer responder

Cinco hipóteses do teorema LATE

SUTVA: sem spillovers de \(Z\) ou \(D\) entre pessoas
- Violação: eu me alisto porque meu amigo foi sorteado
Independência: \(\{Y_i(D_i^1,1),\, Y_i(D_i^0,0),\, D_i^1,\, D_i^0\} \perp\!\!\!\perp Z_i\)
- Forma reduzida e o 1º estágio causais como efeitos de Z
Exclusão: \(Y_i(d,0) = Y_i(d,1)\) para \(d = 0, 1\)
- Violação: sorteados estudam mais para conseguir adiamento
- Instrumento aleatório \(\neq\) exclusão satisfeita
Relevância: \(E[D_i^1 - D_i^0] \neq 0\) (a única testável)
Monotonicidade: \(D_i^1 \geq D_i^0\) para todo \(i\) (ou \(\leq\) para todo \(i\))
- O instrumento empurra todos na mesma direção: não há defiers

Escolas charter e o debate sobre educação

Ref: Seção 3.1 de Angrist, J. D., Pischke, J.-S. Mastering metrics: the path from cause to effect.

KIPP: escolas charter e o debate sobre educação

KIPP (Knowledge Is Power Program): rede de escolas públicas charter nos EUA
- 95% dos alunos são negros ou hispânicos; 80% vivem em situação de pobreza
Escolas charter são públicas, com maior autonomia curricular e de gestão; muitas seguem o modelo No Excuses (mais tempo de aula, disciplina, foco em leitura/matemática).
Questão empírica: frequentar uma escola charter melhora o desempenho?
- Defensores: charter eleva significativamente o desempenho de minorias
- Céticos: charter atrai famílias mais motivadas, i.e., o sucesso seria viés de seleção
Desafio de identificação: autosseleção de famílias/alunos → comparação simples entre charter e escolas tradicionais é viesada.

Loterias de admissão: desenho quase-experimental

Em Massachusetts, quando há excesso de demanda, por lei as vagas charter são sorteadas.
- cerca de 200 candidatos para 90 vagas anuais
A loteria cria variação aleatória no acesso à charter: exatamente o que precisamos!
- nem todos os ganhadores se matriculam e alguns perdedores entram por outras vias (irmãos)
- ganhadores têm maior probabilidade de matrícula do que perdedores.
O sorteio é um instrumento para matrícula em charter!
Objetivo: estimar o efeito causal de estudar em uma charter sobre aprendizado.

Estudo aplicado: KIPP Lynn

Angrist e coautores coletaram dados entre 2005 e 2008 para a escola KIPP em Lynn/MA.

Balanceamento de covariáveis: ganhadores ≈ perdedores

Colunas (1), (2) e (4) reportam as médias. A coluna (3) apresenta as diferenças entre os sorteados e os não sorteados. Esses são coeficientes de regressões que controlam para grupos de risco, ou seja, variáveis dummy para ano e série de inscrição e a presença de um irmão candidato. A coluna (5) apresenta as diferenças entre os alunos da KIPP e os candidatos que não frequentaram a KIPP. Os erros-padrão são reportados entre parênteses.

Validade do instrumento

Condições para a validade do instrumento:

Primeiro estágio: \(Z_i\) tem efeito causal sobre \(D_i\)
Independência: \(Z_i\) é como se fosse aleatório — não correlacionado com variáveis omitidas
Restrição de exclusão: \(Z_i\) afeta \(Y_i\) somente através de \(D_i\)

Observação: Os dois últimos pontos são equivalentes à condição de exogeneidade da aula anterior.

Condição	No estudo KIPP	Verificável?
Primeiro estágio	Oferta aumenta frequência em 74 p.p.	✓ Sim
Independência	Loteria aleatória → balanceamento	✓ Sim
Restrição de exclusão	Oferta só melhora notas via frequência	✗ Não

Resultados: diferença de médias

Resultados: VI

O efeito local médio do tratamento (LATE) é definido como:

\[\lambda = \frac{\rho}{\phi} = \frac{E[Y_i \mid Z_i=1] - E[Y_i \mid Z_i=0]}{E[D_i \mid Z_i=1] - E[D_i \mid Z_i=0]}\]

Numerador (\(\rho\)): efeito da oferta sobre os resultados (forma reduzida)
Denominador (\(\phi\)): efeito da oferta sobre o tratamento (primeiro estágio)

Usando dados da tabela anterior:

\[\lambda = \frac{\rho}{\phi} = \frac{0{,}355}{0{,}741} \approx \mathbf{0{,}48\sigma}\]

Um ganho de quase meio desvio-padrão em matemática em um ano letivo!

A quem se aplica o LATE?

Never-takers: escolha da escola não é influenciada pela loteria, pois eles não vão para charter de forma alguma
Always-takers: mesmo que percam a loteria, encontram uma forma de se matricular na charter
Compliers: seguem o resultado da loteria - se matriculam se são sorteados e não se matriculam se não são sorteados
Defiers: se matriculam se não são sorteados, não se matriculam se são sorteados

LATE = efeito para os compliers

O instrumento não tem poder de mudar o tratamento de never-takers nem always-takers. O LATE captura o efeito causal apenas para os compliers — aqueles cuja decisão de frequentar a KIPP é determinada pela loteria.

LATE vs TOT

LATE = \(E[Y_{1i} - Y_{0i} \mid C_i = 1]\): efeito para os compliers

TOT (Treatment effect on the Treated) = \(E[Y_{1i} - Y_{0i} \mid D_i = 1]\): efeito para todos os tratados (compliers + always-takers)

LATE \(\neq\) TOT

O efeito médio local do tratamento e o efeito do tratamento sobre os tratados são, em geral, diferentes, pois os tratados incluem always-takers, que podem ter efeitos diferentes dos compliers sem hipóteses adicionais.

Validade externa

O LATE estimado para a KIPP Lynn pode não se generalizar para:

Outras escolas charter com perfil diferente
Regiões com menor concentração de pobreza
Expansão da rede para um público diferente

Dica

A relevância de um LATE depende de quem são os compliers e se eles representam bem a população de interesse para políticas públicas.

Fertilidade e investimento em educação

Ref: Seção 3.3 de Angrist, J. D., Pischke, J.-S. Mastering metrics: the path from cause to effect.

Tamanho da família e educação dos filhos

Questão: ter mais irmãos prejudica a educação dos filhos? (trade-off quantidade-qualidade)
Teoria de Becker: pais com menos filhos investem mais em cada um (saúde, educação)
Correlação MQO: cada filho adicional reduz ~0,25 ano de escolaridade do primogênito

Problema de identificação

Famílias maiores diferem das menores em muitas características não observáveis
Mães com mais filhos tendem a ter menos escolaridade
Filhos de mães menos escolarizadas tendem a ter menos escolaridade
Viés de seleção: a correlação negativa pode não refletir causalidade

Experimento ideal: sortear aleatoriamente bebês extras para famílias com um filho já existente.

Experimento natural e VI: gêmeos

Gêmeos no 2º nascimento: \(Z_i = 1\) se a segunda gestação for de gêmeos

Gêmeos representam um choque exógeno no tamanho da família
- Ninguém planeja ter gêmeos
- Correlacionados com algumas características da mãe (idade e etnia)
Aumenta o número médio de filhos em ~0,32
- Não 1, pois ~70% das famílias planejavam ter 3+ filhos de qualquer forma
Primeiro estágio sem controles: 0,320; com controles: 0,437

Experimento natural e VI: composição de sexo

Composição de sexo dos dois primeiros filhos: \(W_i = 1\) se os dois primeiros filhos são do mesmo sexo

Pais preferem ter pelo menos um casal
- famílias cujos dois primeiros filhos são do mesmo sexo têm maior probabilidade de ter um 3º filho
O sexo do recém-nascido é essencialmente aleatório!
Primeiro estágio sem controles: 0,079; com controles: 0,073

Atenção: No livro de Stock e Watson (aulas passadas), \(W\) é usado para representar as variáveis de controle. Neste exemplo do livro de Angrist e Pischke, \(W\) é usado para diferenciar os dois instrumentos.

Resultados: forma reduzida

Instrumento gêmeos:

Primogênitos criados em famílias com gêmeos não têm menor escolaridade do que aqueles em famílias com apenas um irmão.
Forma reduzida ≈ 0

Instrumento filhos do mesmo sexo:

A escolaridade média dos primogênitos é praticamente igual entre famílias com filhos de mesmo sexo e de sexos diferentes (ambas ≈ 12,6 anos).
Forma reduzida ≈ 0

LATE = 0

Se a forma reduzida é zero, o LATE também é zero: \(\lambda = \rho/\phi \approx 0/\phi = 0\).

Conclusão: Nenhuma evidência de trade-off quantidade-qualidade!

MQ2E: um instrumento

O método de Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E) generaliza o método de VI em duas dimensões:

Combina múltiplos instrumentos eficientemente
Incorpora covariáveis de controle

Com um instrumento (\(Z_i\)) e controle (\(A_i\) = idade da mãe):

Forma reduzida: \(Y_i = \alpha_0 + \rho Z_i + \gamma_0 A_i + e_{0i}\)

Primeiro estágio: \(D_i = \alpha_1 + \phi Z_i + \gamma_1 A_i + e_{1i}\)

Valores preditos: \(\hat{D}_i = \alpha_1 + \hat{\phi} Z_i + \hat{\gamma}_1 A_i\)

Segundo estágio: \(Y_i = \alpha_2 + \lambda_{MQ2E} \hat{D}_i + \gamma_2 A_i + e_{2i}\)

Resultado: \(\lambda_{MQ2E} = \hat{\rho}/\hat{\phi}\): o mesmo LATE, agora com controles!

MQ2E: dois instrumentos

Com dois instrumentos (\(Z_i\) gêmeos, \(W_i\) filhos do mesmo sexo) e controles (\(A_i\) idade da mãe, \(B_i\) primogênito masculino):

Primeiro estágio:

\[D_i = \alpha_1 + \phi_t Z_i + \phi_s W_i + \gamma_1 A_i + \delta_1 B_i + e_{1i}\]

Segundo estágio:

\[Y_i = \alpha_2 + \lambda_{MQ2E} \hat{D}_i + \gamma_2 A_i + \delta_2 B_i + e_{2i}\]

O MQ2E com dois instrumentos produz uma média ponderada dos LATEs gerados por cada instrumento individualmente.
Combinar instrumentos aumenta a precisão (reduz o erro-padrão)
- Se ambos os instrumentos forem fortes!

Resultados do primeiro estágio

O primeiro estágio dos gêmeos aumenta com controles: gêmeos são mais comuns em mães mais velhas, que teriam menos filhos

a não inclusão poderia gerar viés de variável omitida e correlação do instrumento com o erro

O primeiro estágio do instrumento filhos do mesmo sexo é estável com ou sem controles: sexo do bebê é verdadeiramente aleatório

Resultados MQ2E

MQO: forte correlação negativa (−0,145) — viés de seleção

MQ2E: estimativas próximas de zero, não significativas — nenhuma evidência de trade-off quantidade-qualidade

O −0,145 do MQO está fora do intervalo de confiança do MQ2E → seleção explica a correlação