Diferença-em-Diferenças: tópicos avançados

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Aulas passadas: inferência causal

Queremos saber: a política, lei ou intervenção causou uma mudança no resultado?

O problema: nunca observamos a mesma unidade no estado tratado e no estado não-tratado simultaneamente!

\[Y_i = D_i \cdot Y_i(1) + (1 - D_i) \cdot Y_i(0)\]

onde \(Y_i\) é o resultado observado; \(Y_i(1)\) é o resultado potencial com tratamento e \(Y_i(0)\) é o resultado potencial sem tratamento.

	\(Y_i(1)\)	\(Y_i(0)\)
\(D_i = 1\) (tratado)	observado	✗ contrafactual
\(D_i = 0\) (controle)	✗ contrafactual	observado

O problema do contrafactual

O efeito causal individual é \(Y_i(1) - Y_i(0)\). O contrafactual \(Y_i(0)\) nunca é observado para os tratados. Portanto, precisamos estimá-lo com uma estratégia de identificação.

Aula passada: a solução DD

A ideia-chave do DD: usar a evolução do grupo de controle ao longo do tempo como para estimar o contrafactual do grupo tratado.

\[\widehat{ATT} = \underbrace{(\bar{Y}_{trat,\,depois} - \bar{Y}_{trat,\,antes})}_{\text{mudança no grupo tratado}} - \underbrace{(\bar{Y}_{ctrl,\,depois} - \bar{Y}_{ctrl,\,antes})}_{\text{mudança no grupo de controle}}\]

Motivação: Medicaid e mortalidade

Pergunta causal: a expansão do Medicaid via ACA (Affordable Care Act) reduziu a mortalidade adulta nos EUA?

Contexto:

• Expandiu a elegibilidade do Medicaid para adultos de baixa renda em diversos estados;

• Objetivo principal: reduzir o número de pessoas sem seguro de saúde;

• Oferece cobertura mais acessível por meio de subsídios e programas públicos;

• Proíbe práticas como negar cobertura por condições pré-existentes.

Motivação: ponto crucial

A expansão pelos estados foi opcional. Estados escolheram se e quando expandir!

Ano de expansão	Estados	% dos condados
2014	AR, AZ, CA, CO, CT, …	36%
2015–2019	AK, IN, PA, LA, MT, …	15%
Nunca	AL, FL, GA, TX, WY, …	31%

Por que não basta comparar os dois grupos (controle e tratamento)?

Estados que decidiram expandir fizeram essa escolha por razões econômicas e políticas. Assim, uma comparação simples confundiria o efeito do Medicaid com as diferenças pré-existentes entre os grupos (efeito seleção).

DD 2x2

O caso mais simples: 2 grupos × 2 períodos

• \(t = 1\) (antes): 2013 — ambos os grupos ainda sem Medicaid expandido
• \(t = 2\) (depois): 2014 — grupo tratado recebe a expansão

	2013 (antes)	2014 (depois)
Expansão 2014 (\(D_i = 1\))	978 condados	tratados
Não-expansão (\(D_i = 0\))	1.222 condados	controle

Resultado: \(Y_{i,t}\) = taxa de mortalidade adulta (20–64) por 100.000 habitantes

Resultado potencial: \(Y_{i,t}(0)\) = mortalidade que teria ocorrido sem a expansão do Medicaid

Resultado potencial: \(Y_{i,t}(1)\) = mortalidade que teria ocorrido com a expansão do Medicaid

O parâmetro-alvo: ATT

O que queremos estimar é o efeito médio do tratamento sobre os tratados:

\[ATT = E[\,Y_{i,2}(1) - Y_{i,2}(0) \mid D_i = 1\,]\]

O que cada parte significa:

• \(Y_{i,2}(1)\): mortalidade observada nos condados que expandiram em 2014 → observado!
• \(Y_{i,2}(0)\): mortalidade contrafactual — o que teria sido sem o Medicaid → não observado!

Hipótese de não-antecipação: antes do tratamento, os grupos tratados ainda não agem sobre a expansão futura:

\[Y_{i,1}(1) = Y_{i,1}(0) \quad \forall \text{ unidade tratada}\]

→ Em 2013, os condados que expandiram se comportam como se não fossem expandir.

A hipótese de tendências paralelas

Na ausência do tratamento, a mudança média no resultado teria sido a mesma nos dois grupos:

\[E[Y_{i,2}(0) - Y_{i,1}(0) \mid D_i = 1] = E[Y_{i,2}(0) - Y_{i,1}(0) \mid D_i = 0]\]

O que isso significa na prática?

• Se o Medicaid não tivesse expandido, a mortalidade no grupo de tratamento teria crescido no mesmo ritmo que no grupo de controle.

• Não exige que os níveis sejam iguais! Apenas que as tendências sejam paralelas!

Do contrafactual ao estimador

Sob a hipótese de tendências paralelas, podemos identificar o ATT a partir de médias observáveis:

Passo 1: O contrafactual dos tratados é: \[E[Y_{i,2}(0) \mid D_i=1] = \underbrace{E[Y_{i,1} \mid D_i=1]}_{\text{média antes (tratados)}} + \underbrace{\big(E[Y_{i,2} \mid D_i=0] - E[Y_{i,1} \mid D_i=0]\big)}_{\text{tendência do controle}}\]

Passo 2: Substituindo na definição do ATT:

\[ATT = \big(E[Y_{i,2}|D_i=1] - E[Y_{i,1}|D_i=1]\big) - \big(E[Y_{i,2}|D_i=0] - E[Y_{i,1}|D_i=0]\big)\]

→ DiD = mudança nos tratados menos mudança nos controles.

O estimador DiD: quatro médias

Como testar tendências paralelas?

A hipótese de tendências paralelas envolve \(Y_{i,t}(0)\) não-observado no período pós-tratamento! Não há teste definitivo!

O que podemos fazer:

1. Balanceamento de covariáveis: verificar se os grupos diferem em variáveis que determinam tendências do resultado

2. Pré-tendências: verificar se as tendências eram paralelas antes do tratamento

3. Análise de sensibilidade: quantificar o quão grande precisaria ser uma violação da hipótese para reverter os resultados

Pré-tendências ≠ testar hipótese de tendências paralelas

Tendências paralelas antes do tratamento apoiam a hipótese de tendências paralelas, mas não a provam! A hipótese de tendências paralelas é uma hipótese sobre comportamento do contrafactual não observado após tratamento.

Balanceamento de covariáveis no Medicaid

Comparação dos grupos de controle e tratamento em 2013 (antes do tratamento):

Variável	Controle	Tratados	Dif. Normalizada
% Branca	81,6	90,5	0,59 ⚠
% Hispânica	9,6	8,2	−0,10
Taxa de desemprego	7,6	8,0	0,16
Taxa de pobreza	19,3	16,5	−0,42 ⚠
Renda mediana ($ mil)	43,0	48,0	0,43 ⚠

• Diferença normalizada acima de 0,25 em módulo indica desbalanceamento relevante.

• Grupos diferem em raça, pobreza e renda: variáveis que provavelmente afetam tendências de mortalidade. Isso coloca em dúvida a hipótese de tendências paralelas incondicional.

DD com controles

Na ausência do tratamento, a evolução média do resultado é a mesma entre tratados e não tratados dentro de cada estrato de covariável \(X_i\).

\[\small E[\Delta Y_{t}(0) \mid X_i, D_i=1] = E[\Delta Y_{t}(0) \mid X_i, D_i=0]\]

A hipótese de identificação é de tendências paralelas condiconais!

• Não exige que os grupos sejam iguais! Exige apenas que, dado \(X_i\), os grupos caminhem em paralelo.

O caminho natural seria incluir covariáveis na regressão de efeito fixo:

\[Y_{it} = \theta_t + \eta_i + \beta_{\text{treat}} D_{it} + X_{it}'\beta_{\text{covs}} + e_{it}\]

Armadilhas TWFE com covariáveis

A estimação TWFE de DD com covariáveis possui dois problemas:

• Controle errado: controlar pela pobreza anual (\(X_{it}\)) equivale a controlar pela variação da pobreza em TWFE, ou seja, áreas pobres ≠ áreas ficando mais pobres.

• Controles ruins: se \(X_{it}\) for afetado pelo próprio tratamento (ex: Medicaid pode reduzir pobreza), incluí-lo contamina a estimativa do efeito causal.

Conclusão: mesmo que a hipótese de tendências paralelas condicionais seja válida, \(\hat{\beta}_{\text{treat}}\) da regressão TWFE não recupera o ATT.

A solução é estimar o ATT diretamente por regressão ajustada, IPW ou métodos duplamente robustos.

DD com covariáveis

Não iremos cobrir esses estimadores devido ao tempo e complexidade. Porém, caso seja necessário utilizar covariáveis em seu DD no futuro, é importante entender como esses estimadores funcionam - ver seção 4.4 de Baker et al (2016). Implementá-los no R é super simples pois os pacotes já trazem rotinas para isso.

Event study: DD 2xT

• O termo “event study” refere-se à estimação e à apresentação de efeitos ao longo de diferentes períodos de tempo antes e depois do tratamento.

• Um desenho com um grupo de tratamento tratado no mesmo \(t\) e múltiplos períodos de tempo (2 × T) é o caso mais simples para discutir estudos de evento.

Estimação: Event Study

Com múltiplos períodos, estimamos o ATT para cada período \(t\), sempre usando o período imediatamente anterior ao tratamento como base (\(g\)):

\[\widehat{ATT}(t) = \big(\bar{Y}_{D=1,\,t} - \bar{Y}_{D=1,\,g-1}\big) - \big(\bar{Y}_{D=0,\,t} - \bar{Y}_{D=0,\,g-1}\big)\]

Uma forma equivalente de obter todos os ATT(t): estimar uma regressão TWFE com efeitos fixos de tempo, efeitos fixos das unidades e um conjunto de interações entre a dummy do grupo tratado e as dummies de tempo.

A omissão da interação de tratamento para t=g−1 evita multicolinearidade e fixa g−1 como o período de referência para todas as estimativas de \(\beta\)’s.

\[ Y_{i,t} = \theta_t + \eta_i + \sum_{k=1}^{g-2} \beta_k \left( \mathbf{1}\{G_i = g\} \cdot \mathbf{1}\{t = k\} \right) + \sum_{k=g}^{T} \beta_k \left( \mathbf{1}\{G_i = g\} \cdot \mathbf{1}\{t = k\} \right)+ \varepsilon_{i,t}\]

Event Study

Event Study (DD 2xT) nada mais é do que uma série do caso DD 2x2 mais simples, agora aplicado para cada \(t\) em uma janela de tempo ao redor do tratamento.

Tendências paralelas

Em Event Study a hipótese de tendências paralelas é mais forte: tendências paralelas tem que valer para todo período após o tratamento

• Para identificar o ATT do ACA em 2019 é necesssário que a hipótese de tendências paralelas seja válida para cada ano entre 2014 e 2019

Para os períodos pré-tratamento (\(t < g\)): sob hipótese de não-antecipação, \(ATT(t)\) deve ser zero

• Estimativas não-zero antes do tratamento são evidência de que a hipótese de tendências paralelas está violada

Para os períodos pós-tratamento (\(t \geq g\)): estimamos o efeito causal ao longo do tempo

• Podemos ver se o efeito cresce, decresce ou se mantém estável

Resultados em event study

Quando o tratamento chega em momentos diferentes

No Medicaid, os estados expandiram em anos diferentes — isso é chamado de staggered adoption (adoção escalonada):

→ Cada grupo de tratamento define seus próprios parâmetros \(ATT(g, t)\) — efeito para o grupo \(g\) no período \(t\).

O problema com TWFE simples

A regressão TWFE convencional estima um coeficiente único:

\[Y_{i,t} = \theta_t + \eta_i + \beta^{twfe} D_{i,t} + e_{i,t}\]

O problema fundamental: com adoção escalonada, o TWFE usa grupos já tratados como controle uns dos outros.

→ Para estimar o efeito do grupo tratado em 2015, o TWFE compara com os condados tratados em 2014. Mas esses já foram afetados pelo Medicaid!

Consequência: com dois grupos de tratamento (\(G_i = 1\) e \(G_i = 2\)) e nunca-tratados:

\[\beta^{twfe} = ATT(2,2) + \underbrace{ATT(1,1) \times w_1 - ATT(1,2) \times w_1}_{\text{usa grupo 1 como controle para grupo 2}}\]

Se o efeito cresce com o tempo (\(ATT(1,2) > ATT(1,1)\)), \(ATT(1,2)\) entra com peso negativo!

\(w_1\): é o percentual de unidades tratadas

TWFE pode dar o sinal errado

O problema do TWFE com adoção escalonada

Mesmo que todos os efeitos \(ATT(g,t)\) sejam positivos, o \(\beta^{twfe}\) pode ser negativo.

Goodman-Bacon (2021) e de Chaisemartin & D’Haultfœuille (2020) demonstraram isso formalmente.

Por que isso acontece?

O TWFE compara grupos tratados com outros grupos tratados em momentos em que ambos já foram afetados pelo tratamento. A variação usada para identificação não é mais o experimento que queremos.

A solução: estimar cada \(ATT(g,t)\) como um DiD 2×2 separado, usando apenas grupos não-tratados (ou ainda-não-tratados) como controle, e depois agregar.

A solução: blocos 2×2 + agregação

Passo 1 — Estimar cada bloco 2×2:

\[\widehat{ATT}(g, t) = \big(\bar{Y}_{G_i=g,\,t} - \bar{Y}_{G_i=g,\,g-1}\big) - \big(\bar{Y}_{ctrl,\,t} - \bar{Y}_{ctrl,\,g-1}\big)\]

onde o grupo de controle são os ainda-não-tratados até o período \(t\).

Passo 2 — Agregar com pesos:

\[\widehat{ATT}_{agg} = \sum_{g,\,t \geq g} w_{g,t} \cdot \widehat{ATT}(g,t), \quad \sum w_{g,t} = 1\]

→ Pesos \(w_{g,t}\) proporcionais ao tamanho do grupo \(g\) entre os tratados.

Implementação em R

O pacote did (Callaway & Sant’Anna, 2021) implementa exatamente esse procedimento: att_gt() para os blocos e aggte() para a agregação.

Resultado: adoção escalonada

Resumo

1. Defina o parâmetro-alvo — qual ATT você quer estimar? Para quais grupos e períodos?

2. Enuncie a hipótese de identificação — qual forma de tendências paralelas você está impondo? Justifique teoricamente.

3. Avalie a plausibilidade — balanceamento de covariáveis e pré-tendências no estudo de evento.

4. Escolha o estimador adequado — 2×2 simples, estudo de evento, ou design com adoção escalonada.

5. Estime e faça inferência — erros-padrão clusterizados no nível de tratamento.

6. Análise de sensibilidade — quão robusto é o resultado a violações plausíveis das hipóteses?