Diferença-em-Diferenças: tratamento contínuo

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Aulas passadas: DD clássico

Nas aulas passadas vimos os seguintes estimadores DD:

• 2×2 simples
• Event Study
• Adoção escalonada

Em todos esses casos, o tratamento considerado foi binário!

Ou seja, o grupo de controle e tratamento eram definidos por uma variável dummy.

Aula de hoje

Muitas vezes o tratamento de intresse é contínuo:

• aumento de salário mínimo
• grau de exposição à poluição ambiental
• grau de exposição à certa tecnologia (internet, 3G, etc)
• programas sociais com cobertura parcial

Em vez de perguntar “recebeu ou não recebeu tratamento?”, a pergunta passa a ser “quanto do tratamento recebeu?”

A idade mínima para beber: variação entre estados

• Com o fim da Lei Seca em 1933, cada estado definiu sua idade mínima para beber.

• Com aprovação da 26ª Emenda em 1971, muitos estados reduziram a idade mínima para 18 ou 19.

• Em 1984, foi aprovada lei federal cortaria repasses a estados com idade mínima < 21.

• Em 1988, todos estados tinham idade mínima = 21.

Exemplo: Alabama reduziu a MLDA para 19 em julho de 1975; Arkansas manteve 21 desde sempre.

→ Variação entre estados e ao longo do tempo = oportunidade de DD.

Variável de tratamento contínua

• No contexto da idade mínima para beber não existe uma uma variável de tratamento comum que seja ligada e desligada de forma discreta:

  • A ida mínima varia entre 18 e 21 anos!
  • Isso gera efeitos de tratamento para o consumo legal de álcool nas idades de 18, 19 ou 20 anos.

Como fazer neste caso em que não é possível definir uma variável dummy para tratamento? Seria possível ainda utilizar uma estratégia DD?

• Sim! Neste caso, entendemos a variável de tratamento como uma medida de exposição ou intensidade do choque de tratamento.

  • Ideia semelhante ao que discutimos no caso do instrumento Bartik!

Especificação TWFE

• Ao invés de estimar o modelo (onde \(s\) indica estados): \(Y_{st} = \alpha + \beta \, TREAT_s + \gamma \, POST_t + \delta_{DD}(TREAT_s \times POST_t) + e_{dt}\)

• Substituimos as dummy de tratamento e após por uma variável de exposição em uma especificação TWFE: \(Y_{st} = \alpha + \delta_{rDD} \, LEGAL_{st} + \sum_{k=\text{Alaska}}^{\text{Wyoming}} \beta_k \, STATE_{ks} + \sum_{j=1971}^{1983} \gamma_j \, YEAR_{jt} + e_{st}\)

• \(Legal_{st}\) mede a proporção de jovens de 18 a 20 anos autorizados a beber no estado \(s\) e no ano \(t\):

  • Em alguns estados, ninguém com menos de 21 anos pode beber.
  • Em estados com idade mínima de 19 anos, aproximadamente dois terços dos jovens entre 18 e 20 anos podem beber legalmente.
  • Em estados com idade mínima de 18 anos, todos os indivíduos de 18 a 20 anos podem beber legalmente.

• Como \(LEGAL_{st}\) também varia no tempo, ela também capta a variação do momento de implmentação da política.
  

Resultados

Idade mínima mais liberal causa ~11 mortes adicionais por 100.000 jovens. ~7–8 são acidentes de trânsito.

Idade mínima mais liberal causa ~7 mortes adicionais por 100.000 jovens causadas por acidentes de trânito.

Por que olhar para mortes por suicídio e causas internas? Faz sentido?

Essas variávies funcionam como testes de falsificação! A ideia é que não devemos encontrar resultados causais onde certamente não há causalidade!

Idade mínima para beber não causa mortes por suicídio e causas internas! Sugere validade da especificação e hipóteses de identificação!

Tendências paralelas: identificação

Tratamento binário: A hipótese de tendências paralelas requer que, na ausência de tratamento, os grupos tratado e controle apresentem a mesma evolução média ao longo do tempo:

\[ E[Y_{it}(0)-Y_{i,t-1}(0)\mid D_i=1] = E[Y_{it}(0)-Y_{i,t-1}(0)\mid D_i=0] \]

Tratamento contínuo: A hipótese de tendências paralelas passa a exigir que a tendência contrafactual média não dependa da intensidade do tratamento:

\[ E[Y_{it}(0)-Y_{i,t-1}(0)\mid D_i=d] = E[Y_{it}(0)-Y_{i,t-1}(0)] \]

Interpretação: na ausência de tratamento, unidades com diferentes intensidades de tratamento seguiriam trajetórias paralelas.

Importante

No caso contínuo, a hipótese é mais forte: ela precisa valer para toda a distribuição das intensidades de tratamento, e não apenas entre dois grupos.