Regressão Discontínua: fuzzy

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Aula passada: loterial local

Intuição RDD

Unidades muito próximas ao ponto de corte são quase idênticas: umas recebem o tratamento, outras não, quase por acaso.

Aula passada: tipos de RDD

Existem dois tipos RDD:

  1. Sharp RDD (nítido): O tratamento é uma função determinística da variável de atribuição (\(X\)).
  • Exemplo: quem é eleito em uma eleição majoritária (metade dos votos +1).
  1. Fuzzy RDD (difuso): Há uma descontinuidade na probabilidade de tratamento quando \(X > c_0\). Neste caso, o ponto de corte funciona como um instrumento (IV) para o tratamento. (aula de hoje)

Observações:

  • O desenho fuzzy é um tipo de estratégia de variáveis instrumentais (IV) e requer estimadores de MQ2E.

  • O sharp, por outro lado, é uma forma reduzida de IV e não requer estimadores MQ2E.

Aula passada: probabilidade de tratamento

Aula passada: atribuição Sharp

Atribuição determinística do tratamento

No desenho Sharp, o status de tratamento é uma função determinística e descontínua de uma variável \(X_i\):

\[ D_i = \begin{cases} 1, & \text{se } X_i \geq c_0 \\ 0, & \text{se } X_i < c_0 \end{cases} \]

onde \(c_0\) é um ponto de corte conhecido.

Em outras palavras, se conhecemos o valor de \(X_i\) para uma unidade \(i\), sabemos com certeza se ela recebeu o tratamento ou não.

O que é o desenho Fuzzy?

Na vida real, muitas políticas têm adesão imperfeita: a elegibilidade não garante o recebimento!

Exemplos:

  • Aluno elegível para bolsa (nota ≥ 60) mas não solicita a documentação
  • Município elegível para programa federal mas não adere
  • Estudante acima do corte de renda recusa subsídio por razões pessoais

A distinção fundamental no fuzzy

No desenho fuzzy, temos duas variáveis distintas:

  • \(T_i = \mathbf{1}(X_i \geq c)\): elegibilidade (atribuição baseada no score)
  • \(D_i \in \{0,1\}\): tratamento efetivamente recebido

O fuzzy ocorre quando \(T_i \neq D_i\) para algumas unidades.

Relembrando: prob de tratamento

No desenho fuzzy, a probabilidade de receber o tratamento salta no corte, mas não vai de 0 a 1:

O salto na probabilidade de receber o tratamento é o primeiro estágio do estimador fuzzy.

Tipos de adesão: quem é quem?

Podemos classificar as unidades em quatro tipos, de acordo com seu comportamento em relação à elegibilidade (igual na aula de IV):

  • Never-takers: Nunca recebe, independente da elegibilidade
  • Always-takers: Sempre recebe, independente da elegibilidade
  • Compliers: Recebe se elegível, não recebe se não elegível
  • Defiers: Faz o oposto da elegibilidade

Hipótese de monotonicidade

Assumimos que não existem defiers: a elegibilidade nunca reduz a probabilidade de receber o tratamento.

RDD como IV: estimador

  • Os desenhos fuzzy RDD são numericamente equivalentes e conceitualmente semelhantes a IV.

    • “Forma reduzida” (numerador): o salto na regressão do resultado sobre a variável de atribuição \(X\).

    • “Primeiro estágio” (denominador): o salto na regressão do indicador de tratamento sobre \(X\).

  • As mesmas hipóteses de IV, advertências sobre compliers vs. defiers, e testes estatísticos (como o teste \(F\) para instrumentos fracos) se aplicam.

Estimador de Wald do efeito do tratamento no Fuzzy RDD:

\[ \delta_{\text{Fuzzy RDD}} = \frac{ \lim_{X \rightarrow c_0^+} E[Y \mid X=c_0] - \lim_{X \rightarrow c_0^-} E[Y \mid X=c_0] }{ \lim_{X \rightarrow c_0^+} E[D \mid X=c_0] - \lim_{X \rightarrow c_0^-} E[D \mid X=c_0] } \]

Três parâmetros, uma lógica

O desenho fuzzy produz três parâmetros relacionados:

1. ITT (intention to treat): Intenção de Tratar

Efeito da elegibilidade sobre o resultado, independente de quem realmente recebeu: \(\tau_{ITT} = \mathbb{E}[Y_i(1, D_i(1)) - Y_i(0, D_i(0)) \mid X_i = c]\)

2. Primeiro Estágio

Efeito da elegibilidade sobre a probabilidade de receber o tratamento:\(\tau_{FS} = \mathbb{E}[D_i(1) - D_i(0) \mid X_i = c]\)

3. FRD — Efeito Fuzzy RD

A razão dos dois efeitos anteriores:\(\tau_{FRD} = \frac{\tau_{ITT}}{\tau_{FS}}\)

Intuição do estimador de Wald

O estimador FRD é análogo ao estimador de variáveis instrumentais (IV):

Variáveis Instrumentais

\[\hat{\beta}_{IV} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\text{Cov}(D, Z)}\]

\(Z\) é o instrumento que afeta \(D\) mas não afeta \(Y\) diretamente.

Regressão Descontínua Fuzzy

\[\hat{\tau}_{FRD} = \frac{\hat{\tau}_{ITT}}{\hat{\tau}_{FS}} = \frac{\text{descont. em }Y}{\text{descont. em }D}\]

\(T_i\) é o “instrumento”: afeta \(D_i\) (primeiro estágio) e \(Y_i\) apenas através de \(D_i\).

Interpretação causal

Sob monotonicidade, \(\tau_{FRD}\) identifica o efeito do tratamento para os compliers próximos ao corte, ou seja, o LATE do desenho fuzzy.

Por que dividir pelo 1º estágio?

Intuição: o ITT dilui o efeito porque inclui nunca-tomadores e sempre-tomadores — que não respondem à elegibilidade.

Dividir pelo primeiro estágio “ajusta” a intenção de tratar (ITT) para recuperar o efeito apenas para quem responde à elegibilidade.

Limitações do LATE

  • O Fuzzy RDD possui as mesmas hipóteses do modelo IV padrão: exclusão, independência, primeiro estágio não nulo e monotonicidade.

  • Assim como em outros IVs, o Fuzzy RDD estima o LATE, ou seja, o efeito médio local do tratamento para o grupo de compliers.

  • Em RDD, os compliers são aqueles cujo status de tratamento muda quando movemos o valor de \(x_i\) de logo à esquerda para logo à direita de \(c_0\).

Subsídio para ensino superior

Ser Pilo Paga

Pergunta: o subsídio Ser Pilo Paga (SPP) aumentou o acesso de estudantes pobres a instituições de ensino superior de alta qualidade na Colômbia?

Londoño-Vélez, Rodríguez e Sánchez (2020) estudam um programa de subsídio governamental na Colômbia que cobre integralmente a mensalidade em IES certificadas de alta qualidade:

  • Voltado a estudantes de alto mérito e baixa renda

  • Financia cursos de 4 ou 5 anos em qualquer IES certificada pelo governo

  • Primeira coorte de beneficiários: alunos que fizeram o SABER 11 (prova nacional tipo Enem) no outono de 2014

Elegibilidade

Elegibilidade determinada por:

  • Mérito: nota SABER 11 no top 9% nacional

  • Necessidade: índice SISBEN (indicador de riqueza) abaixo do corte regional:

Região Corte SISBEN
Zonas rurais 40,75
14 principais regiões metropolitanas 57,21
Demais áreas urbanas 56,32

Observação: No caso mais completo são duas variáveis de atribuição de elegibilidade, o que levaria a um desenho multidomencional (não coberto no curso), mas analisamos aqui o caso unidimensional em que a amostra é restrita a alunos acima do corte de mérito no SABER 11.

Fuzzy RD: atribuição e adesão

Variável de atribuição: índice SISBEN (0 = mais pobre; 100 = mais rico)

  • O corte é normalizado para zero: valores negativos indicam elegibilidade

  • Intervalo observado na amostra: \(-43{,}84 \leq X_i \leq 56{,}23\)

  • \(T_i = 1\) se \(X_i < 0\) (elegível ao subsídio)

  • \(D_i = 1\) se o aluno efetivamente recebeu o subsídio

Adesão

N (%)
Elegíveis (\(T_i = 1\)) 66,7%
Receberam (\(D_i = 1\)) 40,0%

Visualizando o primeiro estágio

O primeiro passo é verificar se a elegibilidade realmente aumenta a probabilidade de receber o subsídio.

O salto de 62,5 p.p. na probabilidade de receber o subsídio é o primeiro estágio.

Os três parâmetros para o SPP

\[\hat{\tau}_{FRD} = \frac{\hat{\tau}_{ITT}}{\hat{\tau}_{FS}} = \frac{0,269}{0,625} = 0,434\]

Para os compliers próximos ao corte, receber o SPP aumentou em 43,4 p.p. a probabilidade de se matricular em uma IES de alta qualidade.

Resumo dos resultados SPP

Parâmetro Estimativa IC Robusto 95%
Primeiro estágio \(\hat{\tau}_{FS}\) 0,625 [0,595; 0,652]
ITT \(\hat{\tau}_{ITT}\) 0,269 [0,221; 0,328]
FRD \(\hat{\tau}_{FRD}\) 0,434 [0,366; 0,524]

Interpretação:

  • 62,5% dos estudantes elegíveis efetivamente receberam o subsídio (primeiro estágio forte)
  • A elegibilidade em si aumentou em 26,9 p.p. a matrícula em IES de alta qualidade (ITT)
  • Para quem de fato recebeu, o efeito foi de 43,4 p.p. (LATE dos compliers)

Por que LATE > ITT?

O ITT é “diluído” pelos não-compliers: estudantes elegíveis que não solicitaram o subsídio. O LATE recupera o efeito apenas para quem respondeu ao incentivo.

Avaliando a estratégia RDD

Teste de manipulação da variável de atribuição

  • O Teste de Densidade de McCrary é amplamente utilizado para verificar manipulação na variável de atribuição em RDD.

  • Hipóteses:

    • \(H_0\) (Nula): a densidade da variável de atribuição é contínua no ponto de corte.

    • \(H_a\) (Alternativa): existe uma descontinuidade (salto) na densidade da variável de atribuição, sugerindo manipulação dos valores em torno do corte.

Interpretação

  • Uma descontinuidade significativa na densidade indica manipulação, violando as hipóteses básicas de RDD.

  • Não rejeitar \(H_0\) não garante validade: alguns tipos de manipulação não são detectáveis por esse teste.

  • Se houver manipulação bilateral (em ambos os lados do ponto de corte), o teste não conseguirá detectá-la.

Teste de McCrary

Notas de corte placebos

Se a estratégia de identificação é correta, não devemos encontrar um efeito tratamento se estimarmos o modelo em notas de corte “fake”.

Estimação: sobre bandwiths e regressões locais

Intuição sobre bandwiths: ShinyApp sobre bandwiths

Intuição sobre Regressão Local: Animação de Regressão Linear Local