Regressão Descontínua: fuzzy

IBM0288 - 2026.2

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Aula passada: loteria local

Intuição RDD

Unidades muito próximas ao ponto de corte são quase idênticas: umas recebem o tratamento, outras não, quase por acaso.

Aula passada: tipos de RDD

Existem dois tipos de RDD:

  1. Sharp RDD (nítido): o tratamento é uma função determinística da variável de atribuição (\(X\)).
  • Exemplo: em eleições apertadas, a variável de atribuição é a margem de vitória e o corte é zero: quem tem margem positiva é eleito.
  1. Fuzzy RDD (difuso): há uma descontinuidade na probabilidade de tratamento quando \(X \geq c_0\). Neste caso, o indicador \(\mathbf{1}(X_i \geq c_0)\) funciona como um instrumento (IV) para o tratamento (aula de hoje).

Observações:

  • O desenho fuzzy é um tipo de estratégia de variáveis instrumentais (IV) e requer estimadores de MQ2E.

  • O sharp, por outro lado, é uma forma reduzida de IV e não requer estimadores MQ2E.

Aula passada: prob. de tratamento

Aula passada: atribuição Sharp

Atribuição determinística do tratamento

No desenho Sharp, o status de tratamento é uma função determinística e descontínua de uma variável \(X_i\):

\[ D_i = \begin{cases} 1, & \text{se } X_i \geq c_0 \\ 0, & \text{se } X_i < c_0 \end{cases} \]

onde \(c_0\) é um ponto de corte conhecido.

Em outras palavras, se conhecemos o valor de \(X_i\) para uma unidade \(i\), sabemos com certeza se ela recebeu o tratamento ou não.

O que é o desenho Fuzzy?

Na vida real, muitas políticas têm adesão imperfeita: a elegibilidade não garante o recebimento! Exemplos:

  • Aluno elegível para bolsa (nota ≥ 60), mas não solicita a documentação
  • Município elegível para programa federal, mas não adere
  • Estudante abaixo do corte de renda (elegível) recusa subsídio por razões pessoais

A distinção fundamental no fuzzy

No desenho fuzzy, temos duas variáveis distintas:

  • \(T_i = \mathbf{1}(X_i \geq c_0)\): elegibilidade (atribuição baseada no score)
  • \(D_i \in \{0,1\}\): tratamento efetivamente recebido

O fuzzy ocorre quando \(T_i \neq D_i\) para algumas unidades.

Notação: \(D_i(t)\) é o tratamento que \(i\) receberia com elegibilidade \(t \in \{0,1\}\), e \(Y_i(t, d)\) é o resultado potencial de \(i\) com elegibilidade \(t\) e tratamento \(d\).

Relembrando: prob. de tratamento

No desenho fuzzy, a probabilidade de receber o tratamento salta no corte, mas não vai de 0 a 1:

O salto na probabilidade de receber o tratamento é o primeiro estágio do estimador fuzzy/IV.

Tipos de adesão: quem é quem?

Podemos classificar as unidades em quatro tipos, de acordo com seu comportamento em relação à elegibilidade (igual na aula de IV):

  • Never-takers: nunca recebem, independentemente da elegibilidade
  • Always-takers: sempre recebem, independentemente da elegibilidade
  • Compliers: recebem se elegíveis, não recebem se não elegíveis
  • Defiers: fazem o oposto da elegibilidade

Hipótese de monotonicidade

Assumimos que não existem defiers: a elegibilidade nunca reduz a probabilidade de receber o tratamento.

RDD como IV: estimador

  • Os desenhos fuzzy RDD são numericamente equivalentes e conceitualmente semelhantes a IV.

    • “Forma reduzida” (numerador): o salto na regressão do resultado sobre a variável de atribuição \(X\).

    • “Primeiro estágio” (denominador): o salto na regressão do indicador de tratamento sobre \(X\).

  • As mesmas hipóteses de IV, advertências sobre compliers vs. defiers e testes estatísticos (como o teste \(F\) para instrumentos fracos) se aplicam.

Estimador de Wald do efeito do tratamento no Fuzzy RDD:

\[ \delta_{\text{Fuzzy RDD}} = \frac{ \lim_{x \downarrow c_0} E[Y \mid X=x] - \lim_{x \uparrow c_0} E[Y \mid X=x] }{ \lim_{x \downarrow c_0} E[D \mid X=x] - \lim_{x \uparrow c_0} E[D \mid X=x] } \]

Três parâmetros, uma lógica

O desenho fuzzy produz três parâmetros relacionados:

1. ITT (intention to treat): Intenção de Tratar

Efeito da elegibilidade sobre o resultado, independentemente de quem realmente recebeu: \(\tau_{ITT} = \mathbb{E}[Y_i(1, D_i(1)) - Y_i(0, D_i(0)) \mid X_i = c_0]\)

2. Primeiro Estágio

Efeito da elegibilidade sobre a probabilidade de receber o tratamento: \(\tau_{FS} = \mathbb{E}[D_i(1) - D_i(0) \mid X_i = c_0]\)

3. FRD — Efeito Fuzzy RD

A razão dos dois efeitos anteriores: \(\tau_{FRD} = \frac{\tau_{ITT}}{\tau_{FS}}\)

Intuição do estimador de Wald

O estimador FRD é análogo ao estimador de variáveis instrumentais (IV):

Variáveis Instrumentais

\[\hat{\beta}_{IV} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\text{Cov}(D, Z)}\]

\(Z\) é o instrumento que afeta \(D\) mas não afeta \(Y\) diretamente.

Regressão Descontínua Fuzzy

\[\hat{\tau}_{FRD} = \frac{\hat{\tau}_{ITT}}{\hat{\tau}_{FS}} = \frac{\text{descont. em }Y}{\text{descont. em }D}\]

\(T_i\) é o “instrumento”: afeta \(D\) (primeiro estágio) e \(Y\) apenas através de \(D\), localmente, no corte.

Interpretação causal

Sob monotonicidade, \(\tau_{FRD}\) identifica o efeito do tratamento para os compliers próximos ao corte \(c_0\), ou seja, o LATE do desenho fuzzy.

Hipóteses e limitações do LATE

Hipóteses

  • O Fuzzy RDD depende das mesmas hipóteses do modelo IV padrão: exclusão, primeiro estágio não nulo e monotonicidade.

  • A hipótese de independência do IV é substituída pela continuidade dos resultados potenciais \(Y_i(t,d)\) e do tratamento potencial \(D_i(t)\) no corte \(c_0\).

  • Em RDD, os compliers são aqueles cujo status de tratamento muda quando movemos o valor de \(X_i\) de logo à esquerda para logo à direita de \(c_0\).

Limitações

  • Assim como em outros IVs, o Fuzzy RDD estima o LATE, ou seja, o efeito médio local do tratamento para o grupo de compliers.

  • O efeito é duplamente local: vale só para os compliers e só para unidades no corte. Extrapolar para unidades longe do corte, ou para never-takers e always-takers, exige hipóteses adicionais (validade externa limitada).

Subsídio para ensino superior

Ser Pilo Paga

Pergunta: o subsídio Ser Pilo Paga (SPP) aumentou o acesso de estudantes pobres a instituições de ensino superior de alta qualidade na Colômbia?

Londoño-Vélez, Rodríguez e Sánchez (2020) estudam um programa de subsídio governamental na Colômbia que cobre integralmente a mensalidade em IES certificadas de alta qualidade:

  • Voltado a estudantes de alto mérito e baixa renda

  • Formalmente, é um crédito condonável: o empréstimo é perdoado se o aluno se formar. Além da mensalidade, inclui auxílio de manutenção

  • Financia cursos de 4 ou 5 anos, mas exige que o aluno seja admitido em uma IES certificada pelo governo

  • Primeira coorte de beneficiários: alunos que fizeram o SABER 11 (prova nacional equivalente ao Enem) no segundo semestre de 2014

Elegibilidade

Elegibilidade determinada por:

  • Mérito: nota SABER 11 no top 9% nacional

  • Necessidade: índice SISBEN (indicador de riqueza) abaixo do corte regional:

Região Corte SISBEN
Zonas rurais 40,75
14 principais regiões metropolitanas 57,21
Demais áreas urbanas 56,32

Observação: no caso completo, há duas variáveis de atribuição de elegibilidade, o que levaria a um desenho multidimensional (não coberto no curso), mas analisamos aqui o caso unidimensional em que a amostra é restrita a alunos acima do corte de mérito no SABER 11.

Fuzzy RD: atribuição e adesão

Variável de atribuição: índice SISBEN (0 = mais pobre; 100 = mais rico)

  • O corte é normalizado para zero: valores negativos indicam elegibilidade

  • Intervalo observado na amostra: \(-43{,}84 \leq X_i \leq 56{,}23\)

  • \(T_i = 1\) se \(X_i < 0\) (elegível ao subsídio)

  • \(D_i = 1\) se o aluno efetivamente recebeu o subsídio

Aviso

Atenção: aqui a convenção se inverte. O tratamento fica à esquerda do corte (\(X_i < 0\)), e não à direita (\(X_i \geq c_0\)) como nos slides anteriores.

Adesão

N (%)
Elegíveis (\(T_i = 1\)) 66,7%
Receberam (\(D_i = 1\)) 40,0%

Visualizando o primeiro estágio

O primeiro passo é verificar se a elegibilidade realmente aumenta a probabilidade de receber o subsídio.

O salto de 62,5 p.p. na probabilidade de receber o subsídio no corte é o primeiro estágio.

Os três parâmetros para o SPP

\[\hat{\tau}_{FRD} = \frac{\hat{\tau}_{ITT}}{\hat{\tau}_{FS}} = \frac{0,269}{0,625} = 0,434\]

Para os compliers próximos ao corte, receber o SPP aumentou em 43,4 p.p. a probabilidade de se matricular em uma IES de alta qualidade.

Resumo dos resultados SPP

Parâmetro Estimativa IC Robusto 95%
Primeiro estágio \(\hat{\tau}_{FS}\) 0,625 [0,595; 0,652]
ITT \(\hat{\tau}_{ITT}\) 0,269 [0,221; 0,328]
FRD \(\hat{\tau}_{FRD}\) 0,434 [0,366; 0,524]

Obs: Os ICs robustos (com correção de viés) não são centrados na estimativa pontual: isso é esperado.

Interpretação:

  • No corte, 62,5% dos estudantes elegíveis efetivamente receberam o subsídio (primeiro estágio forte)
  • A elegibilidade em si aumentou em 26,9 p.p. a matrícula em IES de alta qualidade (ITT)
  • Para os compliers próximos ao corte, o efeito foi de 43,4 p.p. (LATE)

Por que LATE > ITT?

O ITT é “diluído” pelos não-compliers: estudantes elegíveis que não solicitaram o subsídio. O LATE recupera o efeito apenas para quem respondeu ao incentivo.

Avaliando a estratégia RDD

Teste de manipulação da variável de atribuição

  • O Teste de Densidade de McCrary é amplamente utilizado para verificar manipulação na variável de atribuição em RDD.

  • Hoje, o padrão na literatura é o teste de Cattaneo, Jansson e Ma (2020), implementado no pacote rddensity, que substitui o teste original de McCrary (2008). A lógica é a mesma.

  • Hipóteses:

    • \(H_0\) (Nula): a densidade da variável de atribuição é contínua no ponto de corte.

    • \(H_a\) (Alternativa): existe uma descontinuidade (salto) na densidade da variável de atribuição, sugerindo manipulação dos valores em torno do corte.

Interpretação

  • Uma descontinuidade significativa na densidade indica manipulação, violando as hipóteses básicas de RDD.

  • Não rejeitar \(H_0\) não garante validade: alguns tipos de manipulação não são detectáveis por esse teste.

  • Se houver manipulação bilateral (em ambos os lados do ponto de corte), o teste pode não detectá-la: isso acontece quando os fluxos nos dois sentidos se compensam e a densidade continua contínua no corte.

Teste de McCrary

Balanço de covariáveis

  • Se as unidades logo acima e logo abaixo do corte são “quase idênticas”, as covariáveis pré-determinadas (medidas antes do tratamento) não devem saltar no corte.

  • Teste: estimar o próprio RDD usando cada covariável como variável dependente (ex.: sexo, idade, escolaridade dos pais). Espera-se um efeito estatisticamente nulo em todas.

  • Um salto em alguma covariável sugere que as unidades dos dois lados do corte são diferentes, o que compromete a hipótese de continuidade.

  • É, junto com o teste de densidade, o teste de validação mais usado em RDD.

Notas de corte placebo

Se a estratégia de identificação é correta, não devemos encontrar um efeito do tratamento se estimarmos o modelo em notas de corte fictícias.

Os cortes fictícios devem ser estimados usando apenas as observações de um lado do corte verdadeiro, para não contaminar a estimativa com o efeito real.

Estimação: sobre bandwidths e regressões locais

Intuição sobre bandwidths: ShinyApp sobre bandwidths

Intuição sobre Regressão Local: Animação de Regressão Linear Local

Resumo da aula

Sharp vs. fuzzy

  • Sharp: o tratamento é determinado pelo corte (\(D_i = T_i\)).
  • Fuzzy: o corte muda só a probabilidade de tratamento; \(T_i\) funciona como instrumento para \(D_i\).

Três parâmetros

  • Primeiro estágio (\(\tau_{FS}\)): salto na probabilidade de tratamento no corte.
  • ITT (\(\tau_{ITT}\)): salto no resultado no corte (forma reduzida).
  • FRD (\(\tau_{FRD} = \tau_{ITT}/\tau_{FS}\)): LATE dos compliers no corte.

Checklist de validação

  • Primeiro estágio forte (teste \(F\) para instrumentos fracos)
  • Densidade contínua no corte (rddensity)
  • Covariáveis pré-determinadas balanceadas no corte
  • Ausência de efeito em cortes placebo
  • Robustez à escolha do bandwidth