IBM0288 - Microeconometria – Viés de Variável Omitida

Para reflexão

Aula passada: regressões e causalidade

Quando $\beta_1$ pode ser interpretado como efeito causal médio de $X$ sobre $Y$?
$X$ precisa ser independente de outros fatores que afetam $Y$
Isso acontece para dados experimentais!
Não será sempre verdadeiro para dados observacionais!

Aula passada: 3 hipóteses para inferência causal

A variável explicativa $X$ é independente do termo de erro $u_i$

\[E[u_i\mid X_i]=0; \operatorname{corr}(X_i,u_i)=0\]

$(X_i,Y_i)$, $i=1,\dots,n$, são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.).
- Algumas violações de independência podem ser resolvidas com séries temporais ou dados em painel
Sem grandes outliers em $X$ e/ou $Y$.
- A presença de outliers pode distorcer os estimadores de MQO.

Por que incluir mais variáveis no modelo?

Se o objetivo for fazer previsão, incluir variáveis pode aumentar a precisão das previsões.
Se o objetivo for inferência causal, incluir variáveis permite controlar por outros determinantes da variável dependente que levariam a viés.

Aviso

Incluir variáveis aleatoriamente no modelo não é uma boa ideia! A inclusão de controles ruins pode introduzir viés ao invés de eliminá-lo e inviabilizar a identificação de efeitos causais.

Viés de Variável Omitida

O viés de variável omitida (OVB) ocorre quando:

A variável omitida afeta a variável dependente $Y$, ou seja, ela é parte de $u$.
A variável omitida é correlacionada com o regressor $X$ incluído.

OVB no modelo de notas e tamanho das turmas

\[ \text{TestScore}_i = \beta_0 + \beta_1 \ \text{STR}_i + u_i \]

A omissão de alguma das seguintes variáveis gera viés no modelo?

Capacidade financeira do distrito escolar

Horário do teste

Tamanho médio do estacionamento dos professores nas escolas do distrito.

Percentual de alunos para os quais inglês não é o primeiro idioma (\(PctEL\))

Experimento ideal

Imagine um experimento controlado randomizado para medir o efeito dos tamanhos das turmas sobre a nota do teste padronizado.
Nesse experimento, os alunos seriam designados aleatoriamente para turmas que teriam tamanhos diferentes.
Como a atribuição nas turmas seria aleatorizada, todas as características dos alunos seriam distribuídas independentemente do tamanho das turmas
Assim, $E(u_i\mid STR_i) = 0$: ou seja, a hipótese 1 acima seria válida.

Como dados observacionais diferem desse ideal?

O tratamento não é atribuído aleatoriamente.
Considere o percentual de alunos para os quais inglês não é o primeiro idioma:
- plausivelmente satisfaz os dois critérios para viés de variável omitida
Assim, os grupos de “controle” e “tratamento” diferem de forma sistemática, de modo que $corr(STR,PctEL) ≠ 0$

Examinando o efeito do tamanho das turmas entre distritos com mesmo $PctEL$ eliminamos a diferença entre controle (turma grande) e tratamento (turmas pequenas).
Se a única diferença sistemática entre os grupos fosse essa, estaríamos de volta ao experimento controlado randomizado ao fazer a análise dentro de cada grupo de $PctEL$.
Essa é uma forma de controlar o efeito do $PctEL$ ao estimar o efeito do $STR$.
- a outra é fazer uma regressão incluindo $PctEL$ como controle.

OVB: expressão matemática

Seja $\beta_1$ o verdadeiro efeito causal de $X$ sobre $Y$ na população e $\rho_{Xu} = corr(X_i, u_i)$.

Sob essas hipóteses, o coeficiente de MQO será:¹

\[ E[\hat{\beta}_1] = \beta_1 + \rho_{Xu} \frac{\sigma_u}{\sigma_X} \]

Importante

O tamanho da amostra não resolve o problema do viés de variável omitida. O estimador $\hat{\beta}_1$ é viesado e inconsistente quando há OVB.

OVB: modelo longo vs curto

Regressão Longa: $Y_i = \alpha^l + \beta^l X_i + \gamma Z_i + e^l_i$

Regressão Curta: $Y_i = \alpha^c + \beta^c X_i + e^c_i$

Efeito tratamento e OVB

A estimativa da regressão curta é igual à da regressão longa mais o efeito da omitida vezes o coeficiente da regressão da omitida na incluída. Ou seja, a regressão curta estima o efeito causal mais o viés.

Derivação

\[ \begin{aligned} \beta^c =& \frac{Cov(Y_i, X_i)}{Var(X_i)} \\ =& \frac{Cov\color{red}{(\alpha^l + \beta^l X_i + \gamma Z_i + e^l_i}, X_i)}{Var(X_i)} \\ =& \frac{\color{red}{\beta^l Var(X_i) + \gamma Cov(Z_i, X_i) + Cov(e^l_i, X_i)}}{Var(X_i)} \\ = & \color{red}{\beta^l} + \color{red}{\gamma \frac{Cov(Z_i, X_i)}{Var(X_i)}} \\ = & \color{red}{\beta^l} + \color{red}{\gamma \pi_{21}} \\ \end{aligned} \]

onde $\pi_{21}$ é o coeficiente de $X_i$ em $Z_i = \pi_{20} + \pi_{21} X_i + u_i$.

Qual o sinal esperado do OVB?

Seja: $Y$ a variável dependente, $X$ a variável independente e $Z$ a variável omitida.

A equação para o viés é dada por: $E[\hat{\beta}^l] = \beta^l + \gamma \pi_{21}$

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & & \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & & \end{array} \]

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} & \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & & \end{array} \]

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & & \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} & \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} \\ \end{array} \]

Solução 1: aleatorização

No caso de experimentos aleatórios:

$E(X)$ igual para todo valor de $X$, independente de outros fatores que afetam $Y$.
$E(u)$ não varia com $X$ → $corr(X_i,u_i)=0$.

Portanto: a aleatorização de $X$ elimina viés de variável omitida (e causalidade reversa).

Solução 2: controlando pelas variáveis omitidas

No caso de dados observacionais:

Não há garantia de $corr(X,u)=0$.
Mas se pudermos observar as variáveis omitidas que afetam tanto $Y$ quanto $X$, podemos controlar por elas.
Comparar $Y$ entre unidades com níveis similares de $Z$ mas diferentes níveis de $X$.
O que isso significa intuitivamente?

Intuição: inglês como 2^o idioma

O percentual de alunos para os quais o inglês é o segundo idioma é positivamente correlacionado com o tamanho médio das turmas!

Qual a direção do viés? Você espera um $\beta_1$ maior ou menor?

MQO com 2 regressores

Função de expectativa condicional: \[ E[Y_i|X_{1i}, X_{2i}] = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} \] Modelo de regressão: \[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i\]

Como interpretar $\beta_1$?

$\beta_1=\frac{\Delta Y}{\Delta X_1}$, mantendo $X_2$ constante.
Efeito parcial de $X_1$
Como interpretar $\beta_2$? E $\beta_0$?

MQO com $k$ regressores:

Função de expectativa condicional: \[ E[Y_i|X_{1i}, X_{2i}] = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + ...+ \beta_k X_{ki} \]

Modelo de regressão: \[Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + ... + \beta_k X_{ki} + u_i\]

Estimação: estratégia MQO

Selecionar $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, ..., \hat{\beta}_k$ que melhor ajustem os dados.

Melhor ajuste = minimizar os erros quadrados de previsão:

\[ \arg\min_{b_0, b_1,..., b_k} \sum_{i=1}^n \left( Y_i - [b_0 + b_1 X_{1i} + b_2 X_{2i} + ... + b_k X_{ki}] \right)^2 \]

Os estimadores de MQO

Modelo de regressão linear: $\hat Y_i = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X_{1i} + \hat\beta_2 X_{2i} + ... + \hat\beta_k X_{ki} + u_i$
Os coeficientes de MQO $\hat\beta_0$,$\hat\beta_1$,$\hat\beta_2$,$...$ e $\hat\beta_k$ estimam os parâmetros populacionais $\beta_0$,$\beta_1$,$\beta_2$,$...$ e $\beta_k$ a partir dos dados da amostra
$\hat Y_i = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X_{1i} + \hat\beta_2 X_{2i} + ... + \hat\beta_k X_{ki}$: valor previsto de $Y_i$ com base em $X_i$
$\hat u_i = Y_i - \hat Y_i$: resíduo (estimador do erro $u_i$)

O teorema Frisch-Waugh-Lovell

Com um regressor $(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i)$:

\[ \hat\beta_1 = \frac{cov(X,Y)}{var(X)} \]

Com múltiplos regressores $(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + ... + \beta_k X_{ki} + u_i)$:

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{cov(\tilde{X}_1, \tilde{Y})}{var(\tilde{X}_1)} \]

$\tilde{X}_1$: resíduos da regressão de $X_1$ em todos os outros regressores $(X_2,X_3,...,X_k)$.

$\tilde{Y}$: resíduos da regressão de $Y$ em todos os outros regressores $(X_2,X_3,...,X_k)$.

Estimando $\beta$’s em três passos

O teorema Frisch-Waugh-Lovell significa que $\beta_1$ pode ser estimado em 3 passos:

Regredir $X_1$ em $X_2$,$X_3$,$...$,$X_k$ e obter os resíduos $\tilde{X}_1$
Regredir $Y$ em $X_2$,$X_3$,$...$,$X_k$ e obter os resíduos $\tilde{Y}$
Regredir $\tilde{Y}$ em $\tilde{X_1}$

$\tilde{Y_i} = \beta_0 + \beta_1 \tilde{X_1} + u_i$

OVB no exemplo

Modelo com um regressor: \[ \hat{TestScore} = 698.9 - 2.28 \text{STR} \]

Modelo com controle: \[ \hat{TestScore} = 686.0 - 1.10 \text{STR} - 0.65 \text{PctEL} \]

O que aconteceu com o valor do coeficiente de STR? Por quê?

Relembrando o sinal do viés

\[ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{Corr}(Z,X) > 0 & \textbf{Corr}(Z,X) < 0 \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) > 0} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} \\ \hline \mathbf{\textbf{Corr}(Z,Y) < 0} & \text{viés p/ baixo }\color{red}{\downarrow} & \text{viés p/ cima }\color{red}{\uparrow} \\ \end{array} \]

$R^2$ e $R^2$ ajustado

$R^2 = \frac{ESS}{TSS} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat Y_i - \bar Y)^2}{\sum_{i=1}^{n}( Y_i - \bar Y)^2} = 1 - \frac{SSR}{TSS}$
$R^2$ sempre aumenta com a inclusão de um regressor
$R^2$ ajustado ou $\bar R^2 = 1 - \frac{n-1}{n-k-1}\frac{SSR}{TSS}$

SSR: Soma dos quadrados dos resíduos

SER (erro-padrão da regressão)

\[ SER \;=\; \hat\sigma_u \;=\; \sqrt{\frac{1}{n-k-1}\sum_{i=1}^n \hat u_i^{\,2}} \]

Mede a dispersão dos resíduos em torno da reta.
$n-k-1$ é chamado de graus de liberdade: um ajuste pelo viés introduzido pelo número de parâmetros estimados

Hipóteses para inferência causal

Os regressores $X_s$ são independentes do erro $u_i$: $E(u_i \mid X_{1i},X_{2i}...X_{ki}) = 0$
$(Y_i,X_{1i},X_{2i}...X_{ki})$, $i=1,\dots,n$, são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.).
Sem outliers relevantes.
Não há multicolinearidade perfeita.

Exemplo no modelo das notas e tamanho das turmas

Exemplo hipotético: o tamanho das turmas $X_1$ não é correlacionado com o termo de erro somente após controlar pelos recursos financeiros do distrito $X_2$

Hipótese de independência condicional

Seja $X$ o regressor ou tratamento de interesse
$W_1, W_2, ... W_k$ são as variáveis de controle
Hipótese de independência condicional (CIA):

\[ E(u_i \mid X,W_1,W_2,...,W_3) = E(u_i \mid W_1,W_2,...,W_3) \]

Resumo: $u$ e $X$ não são correlacionados após controlar pelos $W$’s.

Controles bons e ruins

Nem toda variável é uma boa opção para ser incluída como controle
Controles Ruins: variáveis que são afetadas pela variável de interesse $X$
- ao mantê-las fixas, introduz-se viés no modelo
Controles Bons: variáveis pré-determinadas em relação à variável de interesse

Exemplo de controle ruim

Objetivo é estimar o efeito tratamento do tamanho das turmas nas notas em exames padronizados (test scores)
Não controlar por aprendizado! Nem por notas regulares (grades), já que são afetadas por aprendizado!
- Não faz sentido mantê-las fixas quando o tamanho da sala as afeta.
Aprendizado e notas regulares são controles ruins!

Importante

Não controle por nada que seja afetado pelo regressor de interesse!

Evite multicolinearidade perfeita

\[\hat{TestScore_i} = \beta_0 + \beta_1 STR_i +\beta_2 PctEL_i + \beta_3 FracEL_i+u_i\]

$PctEL_i$: percentual de alunos que estão aprendendo inglês (entre 0 e 100)
$FracEL_i$: fração de alunos que estão aprendendo inglês (entre 0 e 1)
Multicolinearidade perfeita: exemplo $PctEL = 100\times FracEL$.
$\beta_2$ = efeito de aumentar 1 unidade de $PctEL$ mantendo constante $FracEL_i$
Programas estatísticos geralmente eliminam automaticamente uma das variáveis

Armadilha da dummy

Duas variáveis indicadoras para sexo de nascimento:

\[ H_i = \begin{cases} 1, & \text{se $i$ é homem}, \\ 0, & \text{se $i$ é mulher}. \end{cases} \]

\[ M_i = \begin{cases} 1, & \text{se $i$ é mulher}, \\ 0, & \text{se $i$ é homem}. \end{cases} \]

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 H_i + \beta_2 M_i + u_i$: não pode ser estimado!

Multicolinearidade perfeita: $H_i+M_i = 1$

Pode-se estimar:

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 H_i + u_i$
$Y_i = \beta_0 + \beta_2 M_i + u_i$
$Y_i = \beta_1 H_i + \beta_2 M_i + u_i$

Regra para evitar armadilha das dummies

Se você tem $K$ variáveis indicadoras em que cada observação cai em uma (e somente uma) categoria, não é possível estimar coeficientes para todas as $K$ mais o intercepto
Solução padrão: incluir na regressão $K-1$ variáveis e o intercepto
- neste caso, o coeficiente de uma variável indicadora = diferença entre aquela categoria e a categoria excluída
Também é possível incluir todas as $K$ variáveis e excluir o intercepto

Viés de Variável Omitida

Para reflexão

Aula passada: regressões e causalidade

Aula passada: 3 hipóteses para inferência causal

Por que incluir mais variáveis no modelo?

Viés de Variável Omitida

OVB no modelo de notas e tamanho das turmas

Experimento ideal

Como dados observacionais diferem desse ideal?

OVB: expressão matemática

OVB: modelo longo vs curto

Derivação

Qual o sinal esperado do OVB?

Solução 1: aleatorização

Solução 2: controlando pelas variáveis omitidas

Intuição: inglês como 2^o idioma

MQO com 2 regressores

Como interpretar \(\beta_1\)?

MQO com \(k\) regressores:

Estimação: estratégia MQO

Os estimadores de MQO

O teorema Frisch-Waugh-Lovell

Estimando \(\beta\)’s em três passos

OVB no exemplo

Relembrando o sinal do viés

\(R^2\) e \(R^2\) ajustado

SER (erro-padrão da regressão)

Hipóteses para inferência causal

Exemplo no modelo das notas e tamanho das turmas

Hipótese de independência condicional

Controles bons e ruins

Exemplo de controle ruim

Evite multicolinearidade perfeita

Armadilha da dummy

Regra para evitar armadilha das dummies

Viés de Variável Omitida

Para reflexão

Aula passada: regressões e causalidade

Aula passada: 3 hipóteses para inferência causal

Por que incluir mais variáveis no modelo?

Viés de Variável Omitida

OVB no modelo de notas e tamanho das turmas

Experimento ideal

Como dados observacionais diferem desse ideal?

OVB: expressão matemática

OVB: modelo longo vs curto

Derivação

Qual o sinal esperado do OVB?

Solução 1: aleatorização

Solução 2: controlando pelas variáveis omitidas

Intuição: inglês como 2o idioma

MQO com 2 regressores

Como interpretar \(\beta_1\)?

MQO com \(k\) regressores:

Estimação: estratégia MQO

Os estimadores de MQO

O teorema Frisch-Waugh-Lovell

Estimando \(\beta\)’s em três passos

OVB no exemplo

Relembrando o sinal do viés

\(R^2\) e \(R^2\) ajustado

SER (erro-padrão da regressão)

Hipóteses para inferência causal

Exemplo no modelo das notas e tamanho das turmas

Hipótese de independência condicional

Controles bons e ruins

Exemplo de controle ruim

Evite multicolinearidade perfeita

Armadilha da dummy

Regra para evitar armadilha das dummies

Intuição: inglês como 2^o idioma