library(tidyverse)
library(rdrobust) # rdplot, rdbwselect, rdrobust
library(rddensity) # teste de densidade (McCrary)
library(rdlocrand) # rdwinselect, rdrandinf
library(gt)Aula Prática - Regressão Descontínua
0.1 Introdução
A Regressão Descontínua (Regression Discontinuity Design, RDD) é um método de identificação causal amplamente utilizado em economia e ciências sociais. Sua ideia central é: quando a elegibilidade para um tratamento é determinada por uma variável contínua — chamada de variável de atribuição — ao cruzar um determinado limiar (cutoff) \(c\), as unidades próximas a esse limiar são comparáveis entre si. Qualquer salto na variável de interesse ao redor do cutoff pode então ser atribuído causalmente ao tratamento.
Nesta aula prática estudamos os dois exemplos da literatura para exemplificar o uso do RDD:
RDD Sharp: Meyersson (2014) analisa se a eleição de prefeitos islâmicos na Turquia aumentou o acesso de mulheres jovens ao ensino médio (dados municipais, eleições de 1994).
RDD Fuzzy: Londoño-Vélez et al. (2020) estudam o efeito do Programa Ser Pilo Paga (SPP) sobre a matrícula no ensino superior na Colômbia.
Esta aula está baseada em Cattaneo, Idrobo e Titiunik (2019) e Cattaneo, Idrobo e Titiunik (2024).
0.2 Pacotes
1 Parte I — RD Sharp
1.1 Dados
Os dados contêm informações sobre municípios turcos onde candidatos islâmicos e laicos disputaram as prefeituras nas eleições de 1994. A variável de atribuição é a margem de votos do partido islâmico (positiva = vitória islâmica, negativa = derrota), com cutoff em zero.
dados_sharp <- read.csv(
paste0(
"https://raw.githubusercontent.com/rdpackages-replication/",
"CIT_2020_CUP/master/CIT_2020_CUP_polecon.csv"
)
)
names(dados_sharp) [1] "X" "Y" "T" "ageshr19"
[5] "ageshr60" "buyuk" "hischshr1520m" "i89"
[9] "lpop1994" "merkezi" "merkezp" "partycount"
[13] "prov" "prov_num" "sexr" "shhs"
[17] "subbuyuk" "vshr_islam1994"A principal variável de resultado de interesse será o percentual de mulhers entre 15 e 20 anos de idade com ensino médio completo em 2000. Além da variável de interesse e da variável de atribuição, a base de dados possui também um conjunto de variáveis pré-determinadas.
Y <- dados_sharp$Y # % mulheres 15–20 anos com ensino médio
X <- dados_sharp$X # margem islâmica de votos (cutoff = 0)
tibble(
Grupo = c("Total", "Com prefeito islâmico (X ≥ 0)", "Com prefeito laico (X < 0)"),
N = c(nrow(dados_sharp), sum(X >= 0, na.rm = TRUE), sum(X < 0, na.rm = TRUE))
)# A tibble: 3 × 2
Grupo N
<chr> <int>
1 Total 2629
2 Com prefeito islâmico (X ≥ 0) 315
3 Com prefeito laico (X < 0) 2314| Variável | Tipo | Descrição |
|---|---|---|
| Y | Resultado | Proporção de mulheres de 15–20 anos com ensino médio completo (2000) |
| X | Score | Margem de votos do partido islâmico nas eleições de 1994 (cutoff = 0) |
| T | Tratamento | Prefeito islâmico eleito: 1(X ≥ 0) |
| lpop1994 | Covariada | Logaritmo da população municipal em 1994 |
| hischshr1520m | Covariada | Proporção de homens de 15–20 anos com ensino médio (1994) |
| sexr | Covariada | Razão de sexo da população (mulheres/homens × 100) |
1.2 Gráfico RD
A função rdplot() do pacote rdrobust produz o gráfico de RDD: médias dos dados agrupados em bins (“intervalos”) e um polinômio global ajustado separadamente em cada lado do cutoff. O número de bins pode ser fixado manualmente ou selecionado automaticamente pelo pacote.
Dois critérios automáticos comuns são:
ES (Evenly Spaced): bins do mesmo tamanho; o número ótimo minimiza o IMSE (erro quadrático médio integrado).
MV (Mimicking Variance): bins projetados para imitar a variância dos dados.
rdplot(Y, X,
nbins = c(20, 20),
binselect = "es",
x.label = "Margem islâmica de votos",
y.label = "% mulheres com ensino médio")
rdplot(Y, X,
binselect = "esmv",
x.label = "Margem islâmica de votos",
y.label = "% mulheres com ensino médio")
Conforme se observa nos gráficos, independente do método de seleção dos bins, observa-se um salto positivo (descontinuidade) na proporção de mulheres com ensino médio completo em 2000 nas cidades em que o partido islâmico venceu (margem > 0) as eleições para prefeitura de 1994.
1.3 Estimação Local
O mais comum é se estimar um modelo RDD usando regressão local: ajusta-se um modelo linear em cada lado do cutoff, usando apenas observações dentro de uma janela de largura \(h\) (bandwidth). Os interceptos no cutoff estimam os limites laterais de \(\mathbb{E}[Y \mid X]\).
Usando \(h = 20\) pontos percentuais, podemos estimar um modelo linear de cada lado do cutoff manualmente:
mod_esq <- lm(Y[X >= -20 & X < 0] ~ X[X >= -20 & X < 0])
mod_dir <- lm(Y[X >= 0 & X <= 20] ~ X[X >= 0 & X <= 20])
tibble(
Estimativa = c("Limite à esquerda do cutoff", "Limite à direita do cutoff", "Efeito RD"),
Valor = c(round(coef(mod_esq)[1], 4),
round(coef(mod_dir)[1], 4),
round(coef(mod_dir)[1] - coef(mod_esq)[1], 4))
)# A tibble: 3 × 2
Estimativa Valor
<chr> <dbl>
1 Limite à esquerda do cutoff 12.6
2 Limite à direita do cutoff 15.5
3 Efeito RD 2.93O mesmo resultado é obtido ao se utilizar a função rdrobust() fixando o kernel uniforme e \(h = 20\):
summary(rdrobust(Y, X, kernel = "uniform", p = 1, h = 20))Sharp RD estimates using local polynomial regression.
Number of Obs. 2629
BW type Manual
Kernel Uniform
VCE method NN
Number of Obs. 2314 315
Eff. Number of Obs. 608 280
Order est. (p) 1 1
Order bias (q) 2 2
BW est. (h) 20.000 20.000
BW bias (b) 20.000 20.000
rho (h/b) 1.000 1.000
Unique Obs. 2314 315
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
---------------------------------------------------------------------
RD Effect 2.927 1.636 0.102 [-0.582 , 6.471]
=====================================================================1.4 Seleção de Bandwidth e Estimação Robusta
Na prática, a bandwidth \(h\) não é escolhida manualmente. O critério MSE-ótimo (bwselect = "mserd") minimiza o erro quadrático médio da estimativa de RDD:
rdr_sharp <- rdrobust(Y, X, kernel = "triangular", p = 1, bwselect = "mserd")
summary(rdr_sharp)Sharp RD estimates using local polynomial regression.
Number of Obs. 2629
BW type mserd
Kernel Triangular
VCE method NN
Number of Obs. 2314 315
Eff. Number of Obs. 529 266
Order est. (p) 1 1
Order bias (q) 2 2
BW est. (h) 17.240 17.240
BW bias (b) 28.576 28.576
rho (h/b) 0.603 0.603
Unique Obs. 2311 315
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
---------------------------------------------------------------------
RD Effect 3.020 1.776 0.076 [-0.309 , 6.276]
=====================================================================A linha Robust usa o bias-corrected confidence interval (Calonico, Cattaneo e Titiunik, 2014), mais confiável em amostras finitas. O kernel triangular dá maior peso às observações mais próximas do cutoff.
Leitura do output:
BW est. (h): bandwidth de estimação (observações usadas para calcular \(\hat{\tau}\))BW bias (b): bandwidth de estimação do viés (para a correção)Eff. N: número efetivo de observações dentro da bandwidth
1.5 Testes de Validação
A validade do design RDD requer três pressupostos principais que podem ser avaliados empiricamente.
1.5.1 Teste de Densidade (McCrary)
Se agentes puderem manipular o score (e.g., partidos gerenciando contagem de votos), haveria excesso de observações logo acima de zero. O teste rddensity() verifica continuidade da densidade de \(X\) no em torno do cutoff:
rdd_sharp <- rddensity(X)
summary(rdd_sharp)
Manipulation testing using local polynomial density estimation.
Number of obs = 2629
Model = unrestricted
Kernel = triangular
BW method = estimated
VCE method = jackknife
c = 0 Left of c Right of c
Number of obs 2314 315
Eff. Number of obs 965 301
Order est. (p) 2 2
Order bias (q) 3 3
BW est. (h) 30.539 28.287
Method T P > |T|
Robust -1.3937 0.1634
P-values of binomial tests (H0: p=0.5).
Window Length / 2 <c >=c P>|T|
0.874 20 26 0.4614
1.748 42 49 0.5296
2.622 70 63 0.6030
3.496 95 81 0.3271
4.370 131 98 0.0342
5.245 155 112 0.0100
6.119 183 131 0.0039
6.993 209 148 0.0015
7.867 229 160 0.0005
8.741 257 173 0.0001rdplotdensity(rdd_sharp, X,
xlabel = "Margem islâmica de votos")
$Estl
Call: lpdensity
Sample size 2314
Polynomial order for point estimation (p=) 2
Order of derivative estimated (v=) 1
Polynomial order for confidence interval (q=) 3
Kernel function triangular
Scaling factor 0.880517503805175
Bandwidth method user provided
Use summary(...) to show estimates.
$Estr
Call: lpdensity
Sample size 315
Polynomial order for point estimation (p=) 2
Order of derivative estimated (v=) 1
Polynomial order for confidence interval (q=) 3
Kernel function triangular
Scaling factor 0.11986301369863
Bandwidth method user provided
Use summary(...) to show estimates.
$Estplot
Falha em rejeitar \(H_0\) é evidência de ausência de manipulação.
1.5.2 Covariadas Predeterminadas
Variáveis determinadas antes do tratamento não deveriam mostrar descontinuidade no cutoff. Rodamos rdrobust() para as três covariadas disponíveis e reportamos os resultados na tabela abaixo:
covariate_names <- c(
"lpop1994" = "Log. população (1994)",
"hischshr1520m" = "Prop. homens 15–20 c/ ensino médio (1994)",
"sexr" = "Razão de sexo (mulheres/homens × 100)"
)
cov_results <- purrr::map_dfr(names(covariate_names), function(nm) {
rdr <- rdrobust(dados_sharp[[nm]], X)
tibble(
Variável = covariate_names[[nm]],
Coef. = round(rdr$coef[3], 4),
`Std. Err.` = round(rdr$se[3], 4),
`p-valor` = round(rdr$pv[3], 4),
`IC 95% inf.` = round(rdr$ci[3, 1], 4),
`IC 95% sup.` = round(rdr$ci[3, 2], 4)
)
})
cov_results |>
gt() |>
tab_header(title = "Teste de continuidade — covariadas predeterminadas") |>
tab_style(
style = cell_fill(color = "#fce4d6"),
locations = cells_body(rows = `p-valor` < 0.10)
) |>
opt_stylize(style = 6, color = "gray")| Teste de continuidade — covariadas predeterminadas | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Variável | Coef. | Std. Err. | p-valor | IC 95% inf. | IC 95% sup. |
| Log. população (1994) | 0.0004 | 0.3288 | 0.9991 | -0.6441 | 0.6448 |
| Prop. homens 15–20 c/ ensino médio (1994) | 1.5526 | 1.6887 | 0.3579 | -1.7572 | 4.8624 |
| Razão de sexo (mulheres/homens × 100) | 2.2216 | 2.1866 | 0.3096 | -2.0640 | 6.5072 |
Como podemos verificar, não há nenhuma covariada pré-determinada com efeito significativo, o que consiste em evidência positiva para validade do desenho de pesquisa.
1.5.3 Cutoff Placebo
Cutoffs “falsos” não deveriam produzir descontinuidades, afinal, os tratamentos não são determinados por valores em cutoffs falsos. Testamos o cutoff verdadeiro (\(c = 0\)) e quatro cutoffs placebo — dois à esquerda (\(c \in \{-10, -5\}\), usando apenas municípios com \(X < 0\)) e dois à direita (\(c \in \{5, 10\}\), usando apenas municípios com \(X > 0\)). Somente o cutoff verdadeiro deveria apresentar efeito significante, que é justamente o que o gráfico abaixo mostra (ou seja, um efeito marginalmente significativo no cuttof zero).
cutoffs_vec <- c(-10, -5, 0, 5, 10)
placebo_res <- purrr::map_dfr(cutoffs_vec, function(c_val) {
if (c_val < 0) {
mask <- X < 0
rdr <- rdrobust(Y[mask], X[mask], c = c_val)
} else if (c_val > 0) {
mask <- X > 0
rdr <- rdrobust(Y[mask], X[mask], c = c_val)
} else {
rdr <- rdrobust(Y, X, kernel = "triangular", p = 1, bwselect = "mserd")
}
tibble(
cutoff = c_val,
tipo = if_else(c_val == 0, "Verdadeiro", "Placebo"),
estimate = rdr$coef[3],
ci_lower = rdr$ci[3, 1],
ci_upper = rdr$ci[3, 2]
)
})
ggplot(placebo_res,
aes(x = factor(cutoff, levels = cutoffs_vec), y = estimate,
colour = tipo, shape = tipo)) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", colour = "grey50") +
geom_errorbar(aes(ymin = ci_lower, ymax = ci_upper),
width = 0.15, linewidth = 0.8) +
geom_point(size = 3.5) +
scale_colour_manual(values = c("Verdadeiro" = "#c0392b", "Placebo" = "#2980b9")) +
scale_shape_manual(values = c("Verdadeiro" = 17, "Placebo" = 16)) +
labs(x = "Cutoff", y = "Estimativa RD (Robust) com IC 95%",
colour = NULL, shape = NULL) +
theme_minimal(base_size = 12) +
theme(legend.position = "bottom")
2 Parte II — RD Fuzzy
2.1 Dados
O Programa Ser Pilo Paga (SPP) subsidia a matrícula no ensino superior de estudantes de baixa renda na Colômbia. A elegibilidade é determinada pelo índice SISBEN: alunos com índice abaixo de um cutoff eram elegíveis. A variável X1 é o índice SISBEN normalizado no cutoff (\(X1 > 0\) = elegível, \(X1 < 0\) = não elegível).
O design é fuzzy com não adesão unilateral: nenhum aluno não elegível (\(X1 < 0\)) recebe o SPP, mas apenas ~62% dos elegíveis (\(X1 > 0\)) efetivamente o recebem.
dados_fuzzy <- read.csv(
paste0(
"https://raw.githubusercontent.com/rdpackages-replication/",
"CIT_2024_CUP/master/CIT_2024_CUP_fuzzy.csv"
)
)
names(dados_fuzzy)[1] "X1" "T" "D" "Y"
[5] "icfes_female" "icfes_age" "icfes_urm" "icfes_stratum"
[9] "icfes_famsize"A principal variável de resultado de interesse será a dummy que indica se o aluno se matriculou ou não no ensino superior. Além da variável de interesse e da variável de atribuição, a base de dados possui também outras variáveis de controle.
Y_f <- dados_fuzzy$Y # matrícula em ensino superior (0/1)
X1 <- dados_fuzzy$X1 # índice SISBEN normalizado (cutoff = 0)
D <- dados_fuzzy$D # recebimento efetivo do SPP (0/1)
Z <- dados_fuzzy[, c("icfes_female", "icfes_age", "icfes_urm",
"icfes_stratum", "icfes_famsize")]
tibble(
Estatística = c("Observações totais", "Elegíveis (X1 > 0)",
"Taxa de recebimento — elegíveis",
"Taxa de recebimento — não elegíveis"),
Valor = c(nrow(dados_fuzzy),
sum(X1 > 0, na.rm = TRUE),
round(mean(D[X1 > 0], na.rm = TRUE), 3),
round(mean(D[X1 <= 0], na.rm = TRUE), 3))
)# A tibble: 4 × 2
Estatística Valor
<chr> <dbl>
1 Observações totais 23132
2 Elegíveis (X1 > 0) 15423
3 Taxa de recebimento — elegíveis 0.594
4 Taxa de recebimento — não elegíveis 0 | Variável | Tipo | Descrição |
|---|---|---|
| Y | Resultado | Matrícula em instituição de ensino superior (0/1) |
| X1 | Score | Índice SISBEN normalizado no cutoff (X1 > 0 = elegível para SPP) |
| T | Elegibilidade | Elegível para o SPP: 1(X1 ≥ 0) |
| D | Tratamento recebido | Recebeu o subsídio SPP efetivamente (0/1) |
| icfes_female | Covariada | Sexo feminino (0/1) |
| icfes_age | Covariada | Idade do candidato |
| icfes_urm | Covariada | Pertence a minoria racial ou étnica (0/1) |
| icfes_stratum | Covariada | Estrato socioeconômico (1 = mais pobre, 6 = mais rico) |
| icfes_famsize | Covariada | Tamanho da família |
2.2 Motivação e Parâmetros
No design fuzzy, a regra de elegibilidade não determina perfeitamente o tratamento recebido. Distinguimos:
- \(T_i = \mathbf{1}(X_{1i} \geq 0)\): elegibilidade (tratamento atribuído)
- \(D_i\): recebimento efetivo do SPP (tratamento recebido)
Os três parâmetros de interesse são:
\[\tau_{FS} = \lim_{x \to 0^+} \mathbb{E}[D_i \mid X_{1i}=x] - \lim_{x \to 0^-} \mathbb{E}[D_i \mid X_{1i}=x] \quad \text{(Primeiro Estágio)}\]
\[\tau_{ITT} = \lim_{x \to 0^+} \mathbb{E}[Y_i \mid X_{1i}=x] - \lim_{x \to 0^-} \mathbb{E}[Y_i \mid X_{1i}=x] \quad \text{(Intenção de Tratar)}\]
\[\tau_{FRD} = \frac{\tau_{ITT}}{\tau_{FS}} \quad \text{(Efeito RD Fuzzy = LATE)}\]
\(\tau_{FRD}\) é o efeito médio local do tratamento (LATE): o efeito do SPP para os compliers — aqueles que recebem o SPP quando elegíveis, mas não o receberiam se não fossem elegíveis.
2.3 Gráficos RD
rdplot(Y_f, X1,
binselect = "esmv",
x.label = "Índice SISBEN normalizado",
y.label = "Taxa de matrícula")[1] "Mass points detected in the running variable."
rdplot(D, X1,
binselect = "esmv",
x.label = "Índice SISBEN normalizado",
y.label = "Proporção que recebe SPP")[1] "Mass points detected in the running variable."
[1] "Warning: not enough variability in the outcome variable below the threshold"
O gráfico do primeiro estágio confirma o não-cumprimento unilateral: nenhum aluno com \(X1 < 0\) recebe o SPP, e há um salto acentuado em \(X1 = 0\) para ~62%.
2.4 Primeiro Estágio e Efeito ITT
A seguir mostramos as estimativas do primeiro estágio e do ITT separadamente para entender/visualizar cada componente:
summary(rdrobust(D, X1))Sharp RD estimates using local polynomial regression.
Number of Obs. 23132
BW type mserd
Kernel Triangular
VCE method NN
Number of Obs. 7709 15423
Eff. Number of Obs. 6594 7457
Order est. (p) 1 1
Order bias (q) 2 2
BW est. (h) 18.496 18.496
BW bias (b) 28.982 28.982
rho (h/b) 0.638 0.638
Unique Obs. 3644 9274
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
---------------------------------------------------------------------
RD Effect 0.625 43.136 0.000 [0.595 , 0.652]
=====================================================================summary(rdrobust(Y_f, X1))Sharp RD estimates using local polynomial regression.
Number of Obs. 23132
BW type mserd
Kernel Triangular
VCE method NN
Number of Obs. 7709 15423
Eff. Number of Obs. 3877 3908
Order est. (p) 1 1
Order bias (q) 2 2
BW est. (h) 9.041 9.041
BW bias (b) 14.402 14.402
rho (h/b) 0.628 0.628
Unique Obs. 3644 9274
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
---------------------------------------------------------------------
RD Effect 0.269 10.051 0.000 [0.221 , 0.328]
=====================================================================O primeiro estágio \(\hat{\tau}_{FS} \approx 0.62\) indica que a elegibilidade aumenta a probabilidade de receber o SPP em 62 pp. O ITT \(\hat{\tau}_{ITT} \approx 0.27\) indica o efeito da elegibilidade (independentemente de receber) sobre a matrícula.
2.5 Estimativa RD Fuzzy
Para obter o efeito causal para os compliers (\(\tau_{FRD}\)), basta adicionar fuzzy = D ao rdrobust(). Internamente, o estimador é análogo a um MQ2E local:
rdr_fuzzy <- rdrobust(Y_f, X1, fuzzy = D)
summary(rdr_fuzzy)Fuzzy RD estimates using local polynomial regression.
Number of Obs. 23132
BW type mserd
Kernel Triangular
VCE method NN
Number of Obs. 7709 15423
Eff. Number of Obs. 3877 3908
Order est. (p) 1 1
Order bias (q) 2 2
BW est. (h) 9.041 9.041
BW bias (b) 14.402 14.402
rho (h/b) 0.628 0.628
Unique Obs. 3644 9274
First-stage estimates.
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
=====================================================================
Rd Effect 0.619 29.917 0.000 [0.575 , 0.656]
=====================================================================
Treatment effect estimates.
=====================================================================
Point Robust Inference
Estimate z P>|z| [ 95% C.I. ]
---------------------------------------------------------------------
RD Effect 0.435 11.023 0.000 [0.366 , 0.524]
=====================================================================O pacote reporta os resultaods em duas partes:
Primeiro Estágio: estimativa de \(\hat{\tau}_{FS}\) (salto em \(D\))
Estimativa RD Fuzzy: \(\hat{\tau}_{FRD} = \hat{\tau}_{ITT} / \hat{\tau}_{FS}\), o efeito causal do SPP sobre a matrícula para os cumprintes
Como \(\hat{\tau}_{FRD} > \hat{\tau}_{ITT}\), o efeito para quem efetivamente recebe o programa é maior do que o efeito médio de ser elegível.
2.6 Testes de Validação
Os mesmos testes de validação que valem no RDD Sharp são aplicáveis ao RDD Fuzzy. Além disso, é importante lembrar que o RDD Fuzzy é, em última instância, um estimar de variáveis instrumentais. Assim, é necessário que o primeiro estágio seja forte para obtenção de estimativas causais. Do contrário, teremos problemas de instrumentos fracos.
2.7 Atividade
1. RD Sharp — Interpretação
Usando o output de summary(rdr_sharp), interprete:
- Qual é o efeito estimado da eleição do partido islâmico sobre a proporção de mulheres com ensino médio? Use a linha Robust.
- O resultado é estatisticamente significante ao nível de 5%?
- Qual é a bandwidth MSE-ótima selecionada? Quantas observações são utilizadas efetivamente?
2. Gráfico RD
Compare os dois gráficos gerados com rdplot():
- Por que o número de bins importa para a visualização do efeito?
- O gráfico com 20 bins de cada lado ou o ESMV comunica melhor a descontinuidade? Justifique.
3. Validação do Design Sharp
Examine os três testes de validação (densidade, covariada, cutoff placebo):
- Os resultados sustentam a validade do design RD neste contexto? Explique para cada teste.
- O que concluiríamos se o teste de densidade rejeitasse \(H_0\)?
4. RD Fuzzy — Interpretação
Com base nas estimativas da Parte II:
- Por que \(\hat{\tau}_{FRD} > \hat{\tau}_{ITT}\)? Dê a intuição econômica.
- Para qual subpopulação específica vale a estimativa \(\hat{\tau}_{FRD}\)?
- O que significa “não-cumprimento unilateral” neste contexto? Como isso aparece nos dados?
5. Extensão — Sharp
Usando os dados de Meyersson, escolha outra variável disponível em dados_sharp (use names(dados_sharp) para ver as opções) e realize um teste de covariada predeterminada. Interprete o resultado: a variável escolhida é contínua no cutoff?
6. Extensão — Fuzzy
Adapte os códigos sobre testes de validação do RDD Sharp para o exemplo discutido na seção de RDD Fuzzy.